Seja
uma sequência convergente, digamos
. Considere a sequência
. Mostre que
converge se, e somente se,
. O que podemos afirmar da convergência de subsequências de
?
Passo 1
Dados do enunciado:
- Há uma sequência
tal que . - Define-se
.
O enunciado pede:
- Mostrar que
converge se, e somente se, . - Dizer o que podemos afirmar sobre a convergência das subsequências de
.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar definições e fatos básicos, com calma e sem pressa:
-
Definição de convergência: dizer que
significa: para todo existe tal que, para todo , tem-se . -
Propriedade importante de subsequências: se
então qualquer subsequência também converge para . (Isto vem diretamente da definição: as condições valem para todos os grandes, então também valem para os grandes.) -
Outro fato útil: se uma sequência converge para um limite, todas as suas subsequências convergem para o mesmo limite. Se duas subsequências de uma sequência convergem para limites distintos, então a sequência original não converge.
Com essas ideias na mão, vamos provar a equivalência pedida.
Passo 3
Provar que, se
, então
.
Prova direta por
-definição:
- Se
e , então para dado existe tal que . - Para esses
temos . - Logo, por definição,
.
Comentário amigável: multiplicar por
só troca sinais; se os valores de
vão a zero, trocar sinais não atrapalha — continuam indo a zero.
Passo 4
Provar a outra implicação: se
converge, então
.
Suponha que
para algum
. Vamos olhar as subsequências formada pelos índices pares e ímpares.
-
Para índices pares:
. Como , toda subsequência converge para , então . Mas , e como também . Subsequências de convergem para o mesmo . Portanto temos . -
Para índices ímpares:
. Como , a subsequência converge para . Assim , logo . Mas novamente é subsequência de , então . Portanto .
Combinando as duas igualdades
e
obtemos
, isto é
. Então
. Concluímos: se
converge então
.
Comentário: a ideia intuitiva é que
alterna o sinal dos termos de
. Se
tende para um
, os termos de
vão alternar entre algo próximo de
e algo próximo de
, impossibilitando um único limite.
Passo 5
Resumo da equivalência:
- Se
então . - Se
converge então o limite é e, portanto, .
Logoconverge se, e somente se, .
Passo 6
O que podemos afirmar sobre a convergência das subsequências de
?
Vamos analisar as subsequências naturais pares e ímpares e depois o caso geral.
- Subsequência dos índices pares:
-
. Como , segue .
- Subsequência dos índices ímpares:
-
. Como , segue e portanto .
Consequências:
- Se
: então e . Na verdade, qualquer subsequência de converge para (porque todos os e o sinal não importa). - Se
: as subsequências par e ímpar têm limites distintos ( e ), logo não converge. Mais ainda: - Qualquer subsequência formada apenas por índices pares (ou que seja eventualmente só pares, ou seja, existe
tal que para todo o índice é par) converge para . - Qualquer subsequência formada apenas por índices ímpares (ou eventualmente só ímpares) converge para
. - Qualquer subsequência que contenha infinitamente muitos índices pares e infinitamente muitos índices ímpares não converge (pois teria dois pontos de acumulação distintos
e ).
- Qualquer subsequência formada apenas por índices pares (ou que seja eventualmente só pares, ou seja, existe
Exemplos rápidos para fixar:
- Se
então , e é a sequência : não converge; subsequência par tende a , ímpar tende a . - Se
então e converge para ; qualquer subsequência também converge para .