Seja \left(x_{n}\right) uma sequência convergente, digamos x_{n} \rightarrow a. Considere a sequência y_{n}=(-1)^{n} x_{n}. Mostre que y_{n} converge se, e somente se, a=0. O que podemos afirmar da convergência de subsequências de y_{n} ?

Passo 1

Dados do enunciado:
  • Há uma sequência \left(x_{n}\right) tal que \,x_{n}\to a.
  • Define-se \,y_{n}=(-1)^{n}x_{n}.
O enunciado pede:
  1. Mostrar que \,y_{n} converge se, e somente se, \,a=0.
  2. Dizer o que podemos afirmar sobre a convergência das subsequências de \,y_{n}.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar definições e fatos básicos, com calma e sem pressa:
  • Definição de convergência: dizer que \,x_{n}\to a significa: para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, tem-se \,|x_{n}-a|<\varepsilon.
  • Propriedade importante de subsequências: se \,x_{n}\to a então qualquer subsequência \,x_{n_k} também converge para \,a. (Isto vem diretamente da definição: as condições \,|x_{n}-a|<\varepsilon valem para todos os n grandes, então também valem para os n_k grandes.)
  • Outro fato útil: se uma sequência converge para um limite, todas as suas subsequências convergem para o mesmo limite. Se duas subsequências de uma sequência convergem para limites distintos, então a sequência original não converge.
Com essas ideias na mão, vamos provar a equivalência pedida.

Passo 3

Provar que, se \,a=0, então \,y_{n}\to 0.
Prova direta por \varepsilon-definição:
  • Se \,a=0 e \,x_{n}\to 0, então para dado \varepsilon>0 existe N tal que \,n\ge N\Rightarrow |x_{n}-0|<\varepsilon.
  • Para esses n temos \,|y_{n}-0|=|(-1)^{n}x_{n}|=|x_{n}|<\varepsilon.
  • Logo, por definição, \,y_{n}\to 0.
Comentário amigável: multiplicar por (-1)^{n} só troca sinais; se os valores de \,x_{n} vão a zero, trocar sinais não atrapalha — continuam indo a zero.

Passo 4

Provar a outra implicação: se \,y_{n} converge, então \,a=0.
Suponha que \,y_{n}\to L para algum L\in\mathbb{R}. Vamos olhar as subsequências formada pelos índices pares e ímpares.
  • Para índices pares: y_{2n}=(-1)^{2n}x_{2n}=x_{2n}. Como y_{n}\to L, toda subsequência converge para L, então y_{2n}\to L. Mas y_{2n}=x_{2n}, e como x_{n}\to a também x_{2n}\to a. Subsequências de \,x_{n} convergem para o mesmo a. Portanto temos a=L.
  • Para índices ímpares: y_{2n+1}=(-1)^{2n+1}x_{2n+1}=-x_{2n+1}. Como y_{n}\to L, a subsequência y_{2n+1} converge para L. Assim -x_{2n+1}\to L, logo x_{2n+1}\to -L. Mas novamente x_{2n+1} é subsequência de x_{n}, então x_{2n+1}\to a. Portanto a=-L.
Combinando as duas igualdades a=L e a=-L obtemos L=-L, isto é L=0. Então a=L=0. Concluímos: se y_{n} converge então a=0.
Comentário: a ideia intuitiva é que y_{n} alterna o sinal dos termos de x_{n}. Se x_{n} tende para um a\neq 0, os termos de y_{n} vão alternar entre algo próximo de a e algo próximo de -a, impossibilitando um único limite.

Passo 5

Resumo da equivalência:
  • Se \,a=0 então \,y_{n}\to 0.
  • Se \,y_{n} converge então o limite é 0 e, portanto, \,a=0.
    Logo \,y_{n} converge se, e somente se, \,a=0.

Passo 6

O que podemos afirmar sobre a convergência das subsequências de \,y_{n} ?
Vamos analisar as subsequências naturais pares e ímpares e depois o caso geral.
  1. Subsequência dos índices pares:
  • y_{2n}=x_{2n}. Como x_{n}\to a, segue y_{2n}\to a.
  1. Subsequência dos índices ímpares:
  • y_{2n+1}=-x_{2n+1}. Como x_{n}\to a, segue x_{2n+1}\to a e portanto y_{2n+1}\to -a.
Consequências:
  • Se \,a=0: então y_{2n}\to 0 e y_{2n+1}\to 0. Na verdade, qualquer subsequência de y_{n} converge para 0 (porque todos os x_{n}\to 0 e o sinal não importa).
  • Se \,a\neq 0: as subsequências par e ímpar têm limites distintos ( a e -a), logo \,y_{n} não converge. Mais ainda:
    • Qualquer subsequência formada apenas por índices pares (ou que seja eventualmente só pares, ou seja, existe K tal que para todo k\ge K o índice é par) converge para a.
    • Qualquer subsequência formada apenas por índices ímpares (ou eventualmente só ímpares) converge para -a.
    • Qualquer subsequência que contenha infinitamente muitos índices pares e infinitamente muitos índices ímpares não converge (pois teria dois pontos de acumulação distintos a e -a).
Exemplos rápidos para fixar:
  • Se x_{n}\equiv 1 então a=1, e y_{n} é a sequência 1,-1,1,-1,\dots: não converge; subsequência par tende a 1, ímpar tende a -1.
  • Se x_{n}=1/n então a=0 e y_{n}=(-1)^{n}/n converge para 0; qualquer subsequência também converge para 0.

Resposta

y_{n} converge se, e somente se, a=0.\n\nSe a=0, todas as subsequências de y_{n} convergem para 0. Se a\neq 0, então y_{2n}\to a e y_{2n+1}\to -a; subsequências que são (eventualmente) apenas pares convergem para a, subsequências que são (eventualmente) apenas ímpares convergem para -a, e qualquer subsequência com infinitamente muitos pares e infinitamente muitos ímpares não converge.

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