Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{3}+2 x}{\sqrt{x^{6}+1}}=

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{x^{3}+2x}{\sqrt{x^{6}+1}}.
  • Informações dadas: numerador x^{3}+2x e denominador \sqrt{x^{6}+1}.
  • Observação útil (sem resolver ainda): termos de maior grau em x tendem a dominar o comportamento quando |x| é grande.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): quando x\to -\infty os termos com maiores potências de x dominam. Para tornar isso explícito, factoriza-se potenciais fatores de maior ordem e divide-se numerador e denominador por uma potência adequada de |x| para deixar termos que tendem a 0. Essa técnica ajuda a ver o comportamento assintótico sem álgebra complicada.

Passo 3

Escrever numerador e denominador de forma que apareça um fator comum:
x^{3}+2x = x^{3}\Bigl(1+\frac{2}{x^{2}}\Bigr).
Para o denominador use que
\sqrt{x^{6}+1}=\sqrt{(x^{3})^{2}+1}=|x^{3}|\sqrt{1+\frac{1}{x^{6}}}.
Aqui é importante explicar: |x^{3}| é o módulo de x^{3}. Para todo x, \sqrt{(x^{3})^{2}}=|x^{3}|. Não se pode simplesmente substituir por x^{3} porque \sqrt{\cdot} retorna valor não negativo; por exemplo se x=-2 então |x^{3}|=8, enquanto x^{3}=-8.

Passo 4

Reescrevendo a fração usando as expressões acima:
\frac{x^{3}+2x}{\sqrt{x^{6}+1}} = \frac{x^{3}\Bigl(1+\dfrac{2}{x^{2}}\Bigr)}{|x^{3}|\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{6}}}} = \frac{x^{3}}{|x^{3}|}\cdot\frac{1+\dfrac{2}{x^{2}}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{6}}}}.
Explicação do fator \dfrac{x^{3}}{|x^{3}|}: é o sinal de x^{3}. Como a função t\mapsto t/|t| vale 1 se t>0 e -1 se t<0, tem-se \dfrac{x^{3}}{|x^{3}|}=\operatorname{sgn}(x^{3}). Para x\to -\infty temos x<0\Rightarrow x^{3}<0, logo \dfrac{x^{3}}{|x^{3}|}=-1. Um exemplo numérico rápido: se x=-2 então x^{3}=-8 e |x^{3}|=8, dando -8/8=-1.

Passo 5

Calcular os limites dos fatores restantes:
  • \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\Bigl(1+\frac{2}{x^{2}}\Bigr)=1, porque \dfrac{2}{x^{2}}\to 0 quando |x|\to\infty.
  • \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{6}}}=1, porque \dfrac{1}{x^{6}}\to 0.
    Portanto
\lim_{x\to -\infty}\frac{1+\dfrac{2}{x^{2}}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{6}}}}=\frac{1}{1}=1.

Passo 6

Juntando tudo: como \dfrac{x^{3}}{|x^{3}|}\to -1 quando x\to -\infty e o outro fator tende a 1, o limite pedido é
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{3}+2x}{\sqrt{x^{6}+1}} = -1\cdot 1 = -1.

Resposta

-1

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