Calcule os limites
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se calcular o limite
. - Informações dadas: numerador
e denominador . - Observação útil (sem resolver ainda): termos de maior grau em
tendem a dominar o comportamento quando é grande.
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): quando
os termos com maiores potências de
dominam. Para tornar isso explícito, factoriza-se potenciais fatores de maior ordem e divide-se numerador e denominador por uma potência adequada de
para deixar termos que tendem a 0. Essa técnica ajuda a ver o comportamento assintótico sem álgebra complicada.
Passo 3
Escrever numerador e denominador de forma que apareça um fator comum:
Para o denominador use que
Aqui é importante explicar:
é o módulo de
. Para todo
,
. Não se pode simplesmente substituir por
porque
retorna valor não negativo; por exemplo se
então
, enquanto
.
Passo 4
Reescrevendo a fração usando as expressões acima:
Explicação do fator
: é o sinal de
. Como a função
vale
se
e
se
, tem-se
. Para
temos
, logo
. Um exemplo numérico rápido: se
então
e
, dando
.
Passo 5
Calcular os limites dos fatores restantes:
-
, porque quando . -
, porque .
Portanto
Passo 6
Juntando tudo: como
quando
e o outro fator tende a
, o limite pedido é