Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x+3}{5 x+7}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{2x+3}{5x+7}.
Informações dadas:
  • A função considerada é a função racional x \mapsto \dfrac{2x+3}{5x+7}.
  • A variável x se aproxima de 1.

Passo 2

Conceito usado (explicado de forma simples): se f e g têm limites finitos quando x \to a e o limite de g não é zero, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}.
Além disso, funções lineares da forma h(x)=mx+b têm limite em x=a dado pelo valor obtido substituindo x=a, isto é,
\lim_{x\to a}(mx+b)=m a + b.
Aqui as duas funções do numerador e denominador são lineares, então podemos calcular os limites separadamente e dividir, desde que o limite do denominador não seja zero.

Passo 3

Calcular o limite do numerador:
\lim_{x\to1}(2x+3)=2\cdot 1 + 3 = 5.

Passo 4

Calcular o limite do denominador:
\lim_{x\to1}(5x+7)=5\cdot 1 + 7 = 12.
O limite do denominador é \;12\neq 0\;, então a divisão é válida.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente de limites, o limite pedido é o quociente dos resultados dos passos anteriores.

Resposta

\dfrac{5}{12}

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