Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende para
:
Informações dadas explicitamente no enunciado:
- A expressão é
. - A variável
cresce sem limite, isto é, .
Passo 2
Identificar o tipo de indeterminação. Vamos ver o que acontece com cada termo quando
:
-
. -
também tende para porque para .
Portanto a expressão tem a forma, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos afirmar o valor do limite só olhando: é preciso manipular a expressão.
Passo 3
Ideia útil para remover a indeterminação: multiplicar por uma forma conjugada. A “conjugada” da diferença com raiz é trocar o sinal do segundo termo: a conjugada de
é
. Multiplicar numerador e denominador por essa conjugada não altera o valor (exceto no ponto onde o denominador seria zero, mas aqui trabalhamos com
grandes), e permite eliminar a raiz no numerador após a multiplicação.
Passo 4
Multiplicando por
obtemos:
No numerador aparece uma diferença de quadrados que simplifica bem; vamos calcular isso no próximo passo.
Passo 5
Calcular o numerador (diferença de quadrados):
Portanto a expressão fica
Passo 6
Para avaliar o limite quando
é conveniente dividir numerador e denominador por
(que é positivo para
grande), para expor fatores que tendem a constantes:
Agora simplificamos a razão dentro da raiz:
Assim a expressão equivalente é
Passo 7
Agora aplicamos propriedades de limites e a continuidade da função raiz quadrada. Para
temos
. A função
é contínua em
, então
Portanto o denominador
tende para
. Logo a fração inteira tende para
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida: a manipulação com a conjugada transformou a indeterminação
numa forma que explicitamente tende a uma constante. Como verificação extra (opcional), para expressões semelhantes tem-se a regra prática
pois o mesmo procedimento daria
. No caso
obtemos
, consistente com o resultado acima.