Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+2 x}-x\right)=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende para +\infty:
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}+2x}-x\bigr).
Informações dadas explicitamente no enunciado:
  • A expressão é \sqrt{x^{2}+2x}-x.
  • A variável x cresce sem limite, isto é, x\to+\infty.

Passo 2

Identificar o tipo de indeterminação. Vamos ver o que acontece com cada termo quando x\to+\infty:
  • x\to+\infty.
  • \sqrt{x^{2}+2x} também tende para +\infty porque \sqrt{x^{2}+2x}\ge \sqrt{x^{2}}=|x|=x para x\ge0.
    Portanto a expressão tem a forma \infty-\infty, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos afirmar o valor do limite só olhando: é preciso manipular a expressão.

Passo 3

Ideia útil para remover a indeterminação: multiplicar por uma forma conjugada. A “conjugada” da diferença com raiz é trocar o sinal do segundo termo: a conjugada de \sqrt{x^{2}+2x}-x é \sqrt{x^{2}+2x}+x. Multiplicar numerador e denominador por essa conjugada não altera o valor (exceto no ponto onde o denominador seria zero, mas aqui trabalhamos com x grandes), e permite eliminar a raiz no numerador após a multiplicação.

Passo 4

Multiplicando por \dfrac{\sqrt{x^{2}+2x}+x}{\sqrt{x^{2}+2x}+x} obtemos:
\sqrt{x^{2}+2x}-x = \frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+2x}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+2x}+x\bigr)}{\sqrt{x^{2}+2x}+x}.
No numerador aparece uma diferença de quadrados que simplifica bem; vamos calcular isso no próximo passo.

Passo 5

Calcular o numerador (diferença de quadrados):
\bigl(\sqrt{x^{2}+2x}\bigr)^{2}-x^{2}= (x^{2}+2x)-x^{2}=2x.
Portanto a expressão fica
\sqrt{x^{2}+2x}-x=\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+2x}+x}.

Passo 6

Para avaliar o limite quando x\to+\infty é conveniente dividir numerador e denominador por x (que é positivo para x grande), para expor fatores que tendem a constantes:
\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+2x}+x} = \frac{2}{\dfrac{\sqrt{x^{2}+2x}}{x}+1}.
Agora simplificamos a razão dentro da raiz:
\dfrac{\sqrt{x^{2}+2x}}{x}=\sqrt{\dfrac{x^{2}+2x}{x^{2}}}=\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}.
Assim a expressão equivalente é
\sqrt{x^{2}+2x}-x=\frac{2}{\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}+1}.

Passo 7

Agora aplicamos propriedades de limites e a continuidade da função raiz quadrada. Para x\to+\infty temos \dfrac{2}{x}\to0. A função t\mapsto\sqrt{1+t} é contínua em t=0, então
\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}\longrightarrow\sqrt{1+0}=1.
Portanto o denominador \sqrt{1+\dfrac{2}{x}}+1 tende para 1+1=2. Logo a fração inteira tende para
\frac{2}{2}=1.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida: a manipulação com a conjugada transformou a indeterminação \infty-\infty numa forma que explicitamente tende a uma constante. Como verificação extra (opcional), para expressões semelhantes tem-se a regra prática
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}+ax}-x\bigr)=\frac{a}{2},
pois o mesmo procedimento daria \dfrac{ax}{\sqrt{x^{2}+ax}+x}\to\dfrac{a}{2}. No caso a=2 obtemos \dfrac{2}{2}=1, consistente com o resultado acima.

Resposta

\;1

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