Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{5 \sin ^{2}(\sqrt{x})}{x}

Passo 1

O enunciado pede claramente calcular o seguinte limite quando x se aproxima de 0 pela direita:
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{5\sin^{2}(\sqrt{x})}{x}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A expressão envolve \sin^{2}(\sqrt{x}) no numerador e x no denominador.
  • O limite é pelo lado direito ( x\to0^{+}), portanto \sqrt{x} é bem definido e tende a 0^{+}.
  • Não houve outras restrições fornecidas.

Passo 2

Fazendo uma substituição que simplifica a raiz: defina
t=\sqrt{x}.
Explicando por que essa substituição é boa: quando x\to0^{+} temos t=\sqrt{x}\to0^{+}. Além disso x=t^{2}, o que tende a simplificar a expressão que tem \sin(\sqrt{x}).

Passo 3

Reescrevendo a expressão do limite em função de t. Substituindo x=t^{2} na expressão original obtemos
\frac{5\sin^{2}(\sqrt{x})}{x}=\frac{5\sin^{2}(t)}{t^{2}}.
Portanto o limite em x é equivalente ao seguinte limite em t:
\lim_{x\to0^{+}} \frac{5\sin^{2}(\sqrt{x})}{x} = \lim_{t\to0^{+}} \frac{5\sin^{2}(t)}{t^{2}}.

Passo 4

Manipulação algébrica útil: escrevemos o quociente como um quadrado do quociente básico \dfrac{\sin t}{t}. Assim,
\frac{5\sin^{2}(t)}{t^{2}} = 5\left(\frac{\sin t}{t}\right)^{2}.
Isto é útil porque existe um limite bem conhecido para \dfrac{\sin t}{t} quando t\to0.

Passo 5

Lembrando um limite fundamental e por que ele vale:
O limite
\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1
é uma propriedade básica das funções trigonométricas. Motivos intuitivos e formas de provar:
  • Série de Taylor: \sin u = u - \dfrac{u^{3}}{6} + \cdots, então \dfrac{\sin u}{u}=1 - \dfrac{u^{2}}{6}+\cdots \to 1.
  • Teorema do confronto (squeeze): para u próximo de zero vale \cos u \le \dfrac{\sin u}{u} \le 1 (ou versão equivalente), e como \cos u \to 1 quando u\to0, temos o limite igual a 1.
Escolha qualquer uma dessas justificativas em prova; ambas são aceitas normalmente.

Passo 6

Aplicando o limite conhecido ao nosso caso. Como \lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1, segue que
\lim_{t\to0^{+}} \left(\frac{\sin t}{t}\right)^{2} = \left(\lim_{t\to0^{+}} \frac{\sin t}{t}\right)^{2} = 1^{2}=1.
Aqui usei que o quadrado é uma função contínua, então é legítimo trocar o limite e o quadrado.

Passo 7

Multiplicando pelo fator 5 que estava fora, obtemos o valor do limite:
\lim_{t\to0^{+}} 5\left(\frac{\sin t}{t}\right)^{2} = 5\cdot 1 = 5.

Resposta

5

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