Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede claramente calcular o seguinte limite quando
se aproxima de
pela direita:
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A expressão envolve
no numerador e no denominador. - O limite é pelo lado direito (
), portanto é bem definido e tende a . - Não houve outras restrições fornecidas.
Passo 2
Fazendo uma substituição que simplifica a raiz: defina
Explicando por que essa substituição é boa: quando
temos
. Além disso
, o que tende a simplificar a expressão que tem
.
Passo 3
Reescrevendo a expressão do limite em função de
. Substituindo
na expressão original obtemos
Portanto o limite em
é equivalente ao seguinte limite em
:
Passo 4
Manipulação algébrica útil: escrevemos o quociente como um quadrado do quociente básico
. Assim,
Isto é útil porque existe um limite bem conhecido para
quando
.
Passo 5
Lembrando um limite fundamental e por que ele vale:
O limite
O limite
é uma propriedade básica das funções trigonométricas. Motivos intuitivos e formas de provar:
- Série de Taylor:
, então . - Teorema do confronto (squeeze): para
próximo de zero vale (ou versão equivalente), e como quando , temos o limite igual a .
Escolha qualquer uma dessas justificativas em prova; ambas são aceitas normalmente.
Passo 6
Aplicando o limite conhecido ao nosso caso. Como
, segue que
Aqui usei que o quadrado é uma função contínua, então é legítimo trocar o limite e o quadrado.
Passo 7
Multiplicando pelo fator
que estava fora, obtemos o valor do limite: