sob a condição |x|<2.
Informações dadas (explicitadas):
A expressão do lado esquerdo é a função racional \dfrac{1}{2+x}.
A expressão do lado direito é uma série de potências em x, com termo geral \dfrac{(-1)^{n}}{2^{n+1}}x^{n}.
Precisa-se mostrar que essa série representa a função para x tais que |x|<2.
Passo 2
Lembrete útil: série geométrica. Para uma constante r com |r|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Explicando por que isso é verdade: os somatórios parciais são
S_{N}=\sum_{n=0}^{N} r^{n}=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.
Se |r|<1 então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty, logo S_{N}\to\dfrac{1}{1-r}. Aqui r é a razão da progressão geométrica; a condição |r|<1 garante convergência porque faz os termos irem a zero.
Passo 3
Manipular a função para colocá-la na forma de uma série geométrica. Escrevo
Isso dá exatamente a série do enunciado, sob a condição |x|<2.
Passo 6
Verificação alternativa (mostrando que a série soma a função): como para |x|<2 temos convergência absoluta, posso multiplicar a série por (2+x) termo a termo. Seja
Reindexando a segunda soma com m=n+1 obtém-se cancelamento termo a termo para m\ge 1, ficando apenas o termo n=0 da primeira soma, que é 1. Assim (2+x)S(x)=1, logo S(x)=\dfrac{1}{2+x}. Isso confirma a igualdade obtida acima.
Passo 7
Por que a condição é estrita |x|<2? Nos extremos x=\pm 2 os termos gerais da série não tendem a zero, portanto a série não converge nesses pontos. Exemplo rápido: se x=2 o termo geral é \dfrac{(-1)^{n}}{2}, que não vai a zero; se x=-2 o termo geral é \dfrac{1}{2}, também não vai a zero. Assim a convergência só ocorre para |x|<2.