Exercício 2.37 Mostre que
\frac{1}{2+x}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}} x^{n}
desde que |x|<2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade
\frac{1}{2+x}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}} x^{n}
sob a condição |x|<2.
Informações dadas (explicitadas):
  • A expressão do lado esquerdo é a função racional \dfrac{1}{2+x}.
  • A expressão do lado direito é uma série de potências em x, com termo geral \dfrac{(-1)^{n}}{2^{n+1}}x^{n}.
  • Precisa-se mostrar que essa série representa a função para x tais que |x|<2.

Passo 2

Lembrete útil: série geométrica. Para uma constante r com |r|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Explicando por que isso é verdade: os somatórios parciais são
S_{N}=\sum_{n=0}^{N} r^{n}=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.
Se |r|<1 então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty, logo S_{N}\to\dfrac{1}{1-r}. Aqui r é a razão da progressão geométrica; a condição |r|<1 garante convergência porque faz os termos irem a zero.

Passo 3

Manipular a função para colocá-la na forma de uma série geométrica. Escrevo
\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{x}{2}}.
Agora observe que
\frac{1}{1+\dfrac{x}{2}}=\frac{1}{1- \left(-\dfrac{x}{2}\right)}.
Assim a expressão tem a forma \dfrac{1}{1-r} com r=-\dfrac{x}{2}.

Passo 4

Aplico a fórmula da série geométrica com r=-\dfrac{x}{2}. A condição de convergência |r|<1 fica
\left|-\frac{x}{2}\right|<1\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{|x|}{2}<1\quad\Longleftrightarrow\quad |x|<2.
Para esses x vale
\frac{1}{1+\dfrac{x}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^{n}.
Multiplicando por \dfrac{1}{2} obtemos
\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^{n}.

Passo 5

Faço as potências explícitas e simplifico os fatores de 2:
\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n}}{2^{n}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n}}{2^{n+1}}.
Isso dá exatamente a série do enunciado, sob a condição |x|<2.

Passo 6

Verificação alternativa (mostrando que a série soma a função): como para |x|<2 temos convergência absoluta, posso multiplicar a série por (2+x) termo a termo. Seja
S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n}}{2^{n+1}}.
Então
(2+x)S(x)=2S(x)+xS(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n}}{2^{n}} +\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n+1}}{2^{n+1}}.
Reindexando a segunda soma com m=n+1 obtém-se cancelamento termo a termo para m\ge 1, ficando apenas o termo n=0 da primeira soma, que é 1. Assim (2+x)S(x)=1, logo S(x)=\dfrac{1}{2+x}. Isso confirma a igualdade obtida acima.

Passo 7

Por que a condição é estrita |x|<2? Nos extremos x=\pm 2 os termos gerais da série não tendem a zero, portanto a série não converge nesses pontos. Exemplo rápido: se x=2 o termo geral é \dfrac{(-1)^{n}}{2}, que não vai a zero; se x=-2 o termo geral é \dfrac{1}{2}, também não vai a zero. Assim a convergência só ocorre para |x|<2.

Resposta

\frac{1}{2+x}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}} x^{n},\qquad \text{para }|x|<2.

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