Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{5 x^{2}-3 x+2}}{3 x^{2}+5 x-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende para +\infty da função
\frac{\sqrt{5 x^{2}-3 x+2}}{3 x^{2}+5 x-1}.
Informações dadas:
  • A variável vai para +\infty, ou seja x\rightarrow+\infty.
  • O numerador é \sqrt{5 x^{2}-3 x+2}.
  • O denominador é 3 x^{2}+5 x-1.
    O que se quer: calcular o valor de \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{5 x^{2}-3 x+2}}{3 x^{2}+5 x-1}.

Passo 2

Escolha do método (explicando por que): para limites em x\rightarrow+\infty de quocientes de polinômios e raízes, é prático comparar ordens de crescimento em x. A ideia é escrever a expressão em termos de potências de x (fatores x, x^{2}, etc.) para ver qual termo domina. Aqui o denominador tem termo dominante em x^{2} e o numerador, por causa da raiz quadrada, tem comportamento aproximadamente proporcional a x. Vou fatorar x^{2} dentro da raiz e usar que, para x>0, \sqrt{x^{2}}=x.

Passo 3

Fatorar x^{2} dentro da raiz e usar \sqrt{x^{2}}=x (válido pois x\rightarrow+\infty implica x>0):
\sqrt{5x^{2}-3x+2}=\sqrt{x^{2}\Bigl(5-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{2}}\Bigr)}=\;|x|\sqrt{5-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{2}}}.
Como x\rightarrow+\infty temos |x|=x, logo
\sqrt{5x^{2}-3x+2}=x\sqrt{5-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{2}}}.

Passo 4

Substituir na fração e simplificar dividindo numerador e denominador por x^{2} (a maior potência que aparece no denominador):
\frac{\sqrt{5 x^{2}-3 x+2}}{3 x^{2}+5 x-1} = \frac{x\sqrt{5-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}}}{3x^{2}+5x-1}.
Dividindo cima e baixo por x^{2}:
\frac{x\sqrt{5-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}}}{3x^{2}+5x-1} = \frac{\sqrt{5-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}}}{x\Bigl(3+\dfrac{5}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}\Bigr)}.

Passo 5

Analisar os limites das partes quando x\rightarrow+\infty:
  • Os termos \dfrac{3}{x} e \dfrac{2}{x^{2}} tendem para 0. Logo
\sqrt{5-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}}\longrightarrow\sqrt{5}.
  • O fator x\Bigl(3+\dfrac{5}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}\Bigr) tende para 3x, e portanto tende para +\infty quando x\rightarrow+\infty.
Portanto o quociente
\frac{\sqrt{5-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}}}{x\Bigl(3+\dfrac{5}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}\Bigr)}
é o produto de uma quantidade que tende a \sqrt{5} por uma quantidade que tende a 0 (pois 1/x\rightarrow0). Mais formalmente, para x grande esse quociente é aproximadamente
\frac{\sqrt{5}}{3x},
e \dfrac{\sqrt{5}}{3x}\rightarrow 0 quando x\rightarrow+\infty.

Passo 6

Conclusão: o numerador cresce como O(x) enquanto o denominador cresce como O(x^{2}); portanto a fração tende a 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados