Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende para
da função
Informações dadas:
- A variável vai para
, ou seja . - O numerador é
. - O denominador é
.
O que se quer: calcular o valor de.
Passo 2
Escolha do método (explicando por que): para limites em
de quocientes de polinômios e raízes, é prático comparar ordens de crescimento em
. A ideia é escrever a expressão em termos de potências de
(fatores
,
, etc.) para ver qual termo domina. Aqui o denominador tem termo dominante em
e o numerador, por causa da raiz quadrada, tem comportamento aproximadamente proporcional a
. Vou fatorar
dentro da raiz e usar que, para
,
.
Passo 3
Fatorar
dentro da raiz e usar
(válido pois
implica
):
Como
temos
, logo
Passo 4
Substituir na fração e simplificar dividindo numerador e denominador por
(a maior potência que aparece no denominador):
Dividindo cima e baixo por
:
Passo 5
Analisar os limites das partes quando
:
- Os termos
e tendem para . Logo
- O fator
tende para , e portanto tende para quando .
Portanto o quociente
é o produto de uma quantidade que tende a
por uma quantidade que tende a
(pois
). Mais formalmente, para
grande esse quociente é aproximadamente
e
quando
.
Passo 6
Conclusão: o numerador cresce como
enquanto o denominador cresce como
; portanto a fração tende a
.