Derive a função:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede: derivar a função
. - A função dada é
- Informações relevantes que temos: o numerador é uma potência de uma função trigonométrica
e o denominador é uma exponencial de base com expoente que depende de , .
Passo 2
Escolha do método (breve): vou reescrever
como produto para aplicar a regra do produto e a regra da cadeia de forma direta. Defino
assim
Reescrever o denominador como
evita usar a fórmula do quociente e facilita fatorar depois.
Passo 3
Derivar
passo a passo usando a regra da cadeia:
- A função externa é
aplicada a . Pela regra da cadeia,
- Agora
. - Substituindo:
- Podemos também usar a identidade trigonométrica
para simplificar:
Passo 4
Derivar
. Vou usar a expressão com exponencial natural:
Regra: se
com
então
. Aplicando isso ao nosso caso com
:
- Primeiro calcule
:
- Portanto
Passo 5
Agora uso a regra do produto para
:
Substituo
obtidos:
-
. -
. -
. -
.
Logo
Passo 6
Podemos reescrever
como
para voltar à forma parecida com o enunciado. Assim a forma final mais compacta é