Derive a função:
F(x)=\frac{\cos ^{2}(7 x+2)}{2^{x^{3}+4 \sqrt{x}}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: derivar a função F(x).
  • A função dada é
F(x)=\frac{\cos^{2}\bigl(7x+2\bigr)}{2^{\,x^{3}+4\sqrt{x}}}.
  • Informações relevantes que temos: o numerador é uma potência de uma função trigonométrica \cos(7x+2) e o denominador é uma exponencial de base 2 com expoente que depende de x, x^{3}+4\sqrt{x}.

Passo 2

Escolha do método (breve): vou reescrever F como produto para aplicar a regra do produto e a regra da cadeia de forma direta. Defino
u(x)=\cos^{2}\bigl(7x+2\bigr) \qquad\text{e}\qquad w(x)=2^{-\bigl(x^{3}+4\sqrt{x}\bigr)},
assim
F(x)=u(x)\,w(x).
Reescrever o denominador como 2^{-(x^{3}+4\sqrt{x})} evita usar a fórmula do quociente e facilita fatorar depois.

Passo 3

Derivar u(x)=\cos^{2}\bigl(7x+2\bigr) passo a passo usando a regra da cadeia:
  • A função externa é t\mapsto t^{2} aplicada a t=\cos(7x+2). Pela regra da cadeia,
u'(x)=2\cos\bigl(7x+2\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\cos(7x+2)\bigr].
  • Agora \dfrac{d}{dx}\cos(7x+2)=-\sin(7x+2)\cdot\frac{d}{dx}(7x+2)=-7\sin(7x+2).
  • Substituindo:
u'(x)=2\cos\bigl(7x+2\bigr)\cdot\bigl(-7\sin(7x+2)\bigr)=-14\cos\bigl(7x+2\bigr)\sin\bigl(7x+2\bigr).
  • Podemos também usar a identidade trigonométrica 2\cos\theta\sin\theta=\sin(2\theta) para simplificar:
u'(x)=-7\sin\bigl(2(7x+2)\bigr)=-7\sin\bigl(14x+4\bigr).

Passo 4

Derivar w(x)=2^{-\bigl(x^{3}+4\sqrt{x}\bigr)}. Vou usar a expressão com exponencial natural:
w(x)=\exp\!\bigl(\ln 2\cdot[-(x^{3}+4\sqrt{x})]\bigr).
Regra: se y(x)=a^{g(x)} com a>0 então y'(x)=a^{g(x)}\ln a\cdot g'(x). Aplicando isso ao nosso caso com g(x)=-(x^{3}+4\sqrt{x}):
  • Primeiro calcule g'(x):
g'(x)=-\bigl(3x^{2}+4\cdot\tfrac{1}{2\sqrt{x}}\bigr)=-\bigl(3x^{2}+\tfrac{2}{\sqrt{x}}\bigr).
  • Portanto
w'(x)=2^{-\bigl(x^{3}+4\sqrt{x}\bigr)}\cdot\ln 2\cdot\Bigl(-\bigl(3x^{2}+\tfrac{2}{\sqrt{x}}\bigr)\Bigr) =-2^{-\bigl(x^{3}+4\sqrt{x}\bigr)}\ln 2\;\Bigl(3x^{2}+\tfrac{2}{\sqrt{x}}\Bigr).

Passo 5

Agora uso a regra do produto para F(x)=u(x)w(x):
F'(x)=u'(x)w(x)+u(x)w'(x).
Substituo u, u', w, w' obtidos:
  • u'(x)=-7\sin(14x+4).
  • w(x)=2^{-(x^{3}+4\sqrt{x})}.
  • u(x)=\cos^{2}(7x+2).
  • w'(x)=-2^{-(x^{3}+4\sqrt{x})}\ln 2\,(3x^{2}+\tfrac{2}{\sqrt{x}}).
Logo
\begin{aligned} F'(x) &= -7\sin(14x+4)\;2^{-(x^{3}+4\sqrt{x})} +\cos^{2}(7x+2)\;\Bigl(-2^{-(x^{3}+4\sqrt{x})}\ln 2\,(3x^{2}+\tfrac{2}{\sqrt{x}})\Bigr)\\[6pt] &=2^{-(x^{3}+4\sqrt{x})}\Bigl(-7\sin(14x+4) -\cos^{2}(7x+2)\,\ln 2\,(3x^{2}+\tfrac{2}{\sqrt{x}})\Bigr). \end{aligned}]

Passo 6

Podemos reescrever 2^{-(x^{3}+4\sqrt{x})} como \dfrac{1}{2^{\,x^{3}+4\sqrt{x}}} para voltar à forma parecida com o enunciado. Assim a forma final mais compacta é
F'(x)=\frac{-7\sin(14x+4)-\cos^{2}(7x+2)\,\ln 2\,\bigl(3x^{2}+\tfrac{2}{\sqrt{x}}\bigr)}{2^{\,x^{3}+4\sqrt{x}}}.

Resposta

F'(x)=\frac{-7\sin(14x+4)-\cos^{2}(7x+2)\,\ln 2\,\Bigl(3x^{2}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}\Bigr)}{2^{\,x^{3}+4\sqrt{x}}}.

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