Calcule os limites
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 2}}(1+x)^{\frac{1+x y}{x}}

Passo 1

O enunciado pede
\displaystyle \lim_{\substack{x\to0\y\to2}}(1+x)^{\frac{1+xy}{x}}.
Percebemos que, quando x\to0, a base 1+x\to1 e o expoente \tfrac{1+xy}{x}\to\infty, caracterizando uma forma indeterminada 1^\infty. Para resolver, vamos usar logaritmo e a definição de e^L.

Passo 2

Defina
f(x,y) = (1+x)^{\frac{1+xy}{x}}.
Então considere o logaritmo
\ln f(x,y) = \frac{1+xy}{x}\,\ln(1+x).
Se conseguirmos \lim \ln f(x,y)=L, segue que \lim f(x,y)=e^L.

Passo 3

Reescrevendo
\ln f(x,y) =(1+xy)\,\frac{\ln(1+x)}{x}.
Ao fazer x\to0 e y\to2:
  • \displaystyle \frac{\ln(1+x)}{x}\to1 (pois \ln(1+x)\sim x).
  • 1+xy\to1+0\cdot2=1.
    Logo
\ln f(x,y)\;\longrightarrow\;1\cdot1 = 1.

Passo 4

Como \ln f\to1, conclui-se
f(x,y)\;\longrightarrow\;e^1 = e.

Resposta

e

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