Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}}\left(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x y}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
\;f(x,y)=\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x\,y}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar as propriedades de limites (soma, diferença e composição com funções contínuas).

Passo 2

Observamos que \sqrt{\cdot} é contínua em [0,\infty). Logo, se as expressões internas tiverem limite, podemos passar o limite para dentro da raiz.

Passo 3

Calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\sqrt{x^{2}+1} =\sqrt{\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(x^{2}+1\bigr)} =\sqrt{0+1} =1.

Passo 4

Calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\sqrt{x\,y} =\sqrt{\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x\,y)} =\sqrt{0} =0.

Passo 5

Como o limite da diferença é a diferença dos limites (quando ambos existem e são finitos), temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x\,y}\bigr) =1-0=1.

Resposta

1

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