Mostrar que os limites seguintes não existem:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x^{3}}{x^{3}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que não existe o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{3}}{x^{3}+y^{2}}.
Para isso, vamos usar o fato de que, se esse limite existisse, deveria ser o mesmo ao longo de qualquer caminho que leve a (0,0).

Passo 2

Tomemos a trajetória y=0. Substituindo em \frac{x^{3}}{x^{3}+y^{2}}, temos
\frac{x^{3}}{x^{3}+0} = 1
para todo x\neq0. Portanto,
\lim_{x\to0}\frac{x^{3}}{x^{3}+0}=1.

Passo 3

Agora tomemos a trajetória x=0. Substituindo em \frac{x^{3}}{x^{3}+y^{2}}, obtemos
\frac{0^3}{0^3+y^2} = 0
para todo y\neq0. Logo,
\lim_{y\to0}\frac{0}{y^{2}}=0.

Passo 4

Pelas duas trajetórias, o limite vale 1 quando y=0 e vale 0 quando x=0. Como esses valores são diferentes, concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{3}}{x^{3}+y^{2}}
não existe.

Resposta

O limite não existe.

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