Calcule os limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{x-x y+1}{x^{2} y+5 x y-y+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{(x,y)\to(0,1)}\frac{x - x\,y + 1}{x^{2}y + 5\,x\,y - y + 2}.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e continuidade de funções racionais. Para resolver, vamos verificar se podemos fazer a substituição direta, isto é, checar se o denominador no ponto (0,1) é diferente de zero.

Passo 2

Verificamos o denominador em (0,1):
x^{2}y + 5\,x\,y - y + 2 \Big|_{(0,1)} = 0^{2}\cdot1 + 5\cdot0\cdot1 - 1 + 2 = -1 + 2 = 1 \neq 0.
Como o denominador não se anula em (0,1), a função é contínua nesse ponto e podemos usar substituição direta para calcular o limite.

Passo 3

Substituindo (x,y)=(0,1) em numerador e denominador:
\text{Numerador: }x - x\,y + 1\Big|_{(0,1)} = 0 - 0 + 1 = 1,
\text{Denominador: }x^{2}y + 5\,x\,y - y + 2\Big|_{(0,1)} = 1.
Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,1)}\frac{x - x\,y + 1}{x^{2}y + 5\,x\,y - y + 2} =\frac{1}{1}=1.

Resposta

1

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