Calcule a derivada parcial de primeira ordem:
f(x, y)=\sqrt[3]{a^{2}-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\sqrt[3]{a^{2}-x^{2}-y^{2}}
Isso é conteúdo de cálculo multivariável, onde vamos usar a regra da cadeia para funções compostas: f(u) com u(x,y).

Passo 2

Definimos
u(x,y)=a^{2}-x^{2}-y^{2},
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f(x,y)=u(x,y)^{\tfrac{1}{3}}.
Para \partial f/\partial x, aplicamos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{3}\,u^{-\tfrac{2}{3}}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}
e como
\frac{\partial u}{\partial x}=-2x,
obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{3}\,u^{-\tfrac{2}{3}}\cdot(-2x) =-\frac{2x}{3\,\bigl(a^{2}-x^{2}-y^{2}\bigr)^{\tfrac{2}{3}}}.

Passo 3

De modo análogo, para \partial f/\partial y temos
\frac{\partial u}{\partial y}=-2y
e
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{3}\,u^{-\tfrac{2}{3}}\cdot(-2y) =-\frac{2y}{3\,\bigl(a^{2}-x^{2}-y^{2}\bigr)^{\tfrac{2}{3}}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =-\frac{2x}{3\,\bigl(a^{2}-x^{2}-y^{2}\bigr)^{\tfrac{2}{3}}}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =-\frac{2y}{3\,\bigl(a^{2}-x^{2}-y^{2}\bigr)^{\tfrac{2}{3}}}.

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