O enunciado pede o limite quando de três funções simultâneas:
O conteúdo envolve análise de ordem de grandeza (para a função racional), limite de uma função trigonométrica inversa e comparação de exponencial com polinômio (para o quociente com ).
Passo 2
Para o primeiro componente, note que o grau de no numerador e no denominador é o mesmo (). Dividimos ambos por :
Passo 3
Para o segundo componente, sabemos que
limttoinftyarctan(t)=pi2,
pois a função arctan(x) tem assíntota horizontal em pi/2 quando xto+infty.
Passo 4
Para o terceiro componente, observe que e^t cresce muito mais rápido que t. Podemos escrever
1-e^tt =-e^tt+1t
Temos limttoinftye^t/t=+infty e limttoinfty1/t=0, logo