Calcule os limites.
lim t infty(1+t^21-t^2, arctan (t), 1-e^tt)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando ttoinfty de três funções simultâneas:
1+t^21-t^2, arctan(t), 1-e^tt
O conteúdo envolve análise de ordem de grandeza (para a função racional), limite de uma função trigonométrica inversa e comparação de exponencial com polinômio (para o quociente com e^t).

Passo 2

Para o primeiro componente, note que o grau de t no numerador e no denominador é o mesmo ( 2). Dividimos ambos por t^2:
1+t^21-t^2 =tfrac1t^2+1tfrac1t^2-1 ;xrightarrow[ttoinfty];0+10-1=-1

Passo 3

Para o segundo componente, sabemos que
limttoinftyarctan(t)=pi2,
pois a função arctan(x) tem assíntota horizontal em pi/2 quando xto+infty.

Passo 4

Para o terceiro componente, observe que e^t cresce muito mais rápido que t. Podemos escrever
1-e^tt =-e^tt+1t
Temos limttoinftye^t/t=+infty e limttoinfty1/t=0, logo
limttoinfty1-e^tt=-infty

Resposta

l(-1,;pi2,;-inftyr)

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