Sabendo que y=f(x), encontre y^prime.
y^2 x+cos (x y)=2

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
y^2x + cos(xy) = 2
e pede y'=dydx. O conteúdo aqui é derivada implícita: vamos diferenciar ambos os lados em relação a x, lembrando que y=y(x).

Passo 2

Derivamos termo a termo. Para y^2x aplicamos o produto u=x e v=y^2:
ddx(x,y^2) = 1cdot y^2 + xcdot 2y,y' = y^2 + 2xy,y'
Para cos(xy) usamos regra da cadeia, com u=xy e u'=y + x,y':
ddxl(cos(xy)r) = -sin(xy),(y + x,y')
Como o lado direito 2 é constante, sua derivada é zero. Portanto a soma das derivadas dá
y^2 + 2xy,y' ;-;sin(xy),(y + x,y') ;=;0

Passo 3

Expandimos e agrupamos os termos que contêm y':
y^2 + 2xy,y' ;-;ysin(xy) ;-;x,y'sin(xy) = 0 Longrightarrow l(2xy - xsin(xy)r),y' ;+;l(y^2 - ysin(xy)r) = 0

Passo 4

Isolamos y':
l(2xy - xsin(xy)r),y' = -l(y^2 - ysin(xy)r) Longrightarrow y' = -y^2 - ysin(xy)2xy - xsin(xy)
Fatorando y no numerador e x no denominador, ou simplesmente reorganizando o sinal, obtemos
y' = yl(sin(xy)-yr)xl(2y-sin(xy)r)

Resposta

y' = -y^2 - ysin(xy)2xy - xsin(xy) ou y' = yl(sin(xy)-yr)xl(2y-sin(xy)r)

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