Calcule os limites:
\lim _{t \rightarrow 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{t}}-\frac{1}{2}}{t-4}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{t\to 4}\frac{\frac{1}{\sqrt{t}}-\frac{1}{2}}{t-4}.
Perceba que ao substituir t=4 o numerador e o denominador ficam nulos, caracterizando uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar racionalização do numerador.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada do numerador, que é \tfrac{1}{\sqrt{t}}+\tfrac{1}{2}:
\frac{\frac{1}{\sqrt{t}}-\frac{1}{2}}{t-4}\;\times\;\frac{\frac{1}{\sqrt{t}}+\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{t}}+\frac{1}{2}} =\frac{\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{t}}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}}{(t-4)\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{t}}+\tfrac{1}{2}\bigr)}.

Passo 3

Calcule o numerador:
\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{t}}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} =\frac{1}{t}-\frac{1}{4} =\frac{4-t}{4\,t}.
Então
\frac{\frac{4-t}{4t}}{(t-4)\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{t}}+\tfrac{1}{2}\bigr)} =\frac{4-t}{4t\,(t-4)\,\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{t}}+\tfrac{1}{2}\bigr)} =-\frac{1}{4t\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{t}}+\tfrac{1}{2}\bigr)},
pois 4-t=-(t-4) cancela.

Passo 4

Agora fazemos t\to4 na expressão simplificada:
-\frac{1}{4\cdot 4\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{4}}+\tfrac{1}{2}\bigr)} =-\frac{1}{16\bigl(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\bigr)} =-\frac{1}{16\cdot 1} =-\frac{1}{16}.

Resposta

-\frac{1}{16}

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