Resolva a EDO:
x(x+1) y+\left(2-x^{2}\right) y-(2+x) y=(x+1)^{2}

Passo 1

O enunciado traz a EDO de primeira ordem
x(x+1)\,y + \bigl(2 - x^2\bigr)\,y - (2 + x)\,y = (x+1)^2
e pede a sua solução geral. Aqui o conteúdo é equação diferencial linear de 1.º ordem, e vamos precisar:
  1. Agrupar e simplificar os termos em y.
  2. Colocar na forma padrão y' + P(x)\,y = Q(x).
  3. Determinar o fator integrante.
  4. Integrar para obter y(x).

Passo 2

Primeiro reunimos os coeficientes de y no lado esquerdo. Note que
x(x+1) + \bigl(2 - x^2\bigr) - (2 + x) = x^2 + x + 2 - x^2 - 2 - x = 0
Logo a equação original, tal como escrita, daria 0\cdot y=(x+1)^2, o que só faria sentido em x=-1.
No entanto, supondo que havia um termo y' no primeiro produto, isto é, a EDO correta é
x(x+1)\,y' + \bigl(2 - x^2\bigr)\,y - (2 + x)\,y = (x+1)^2,
podemos seguir.

Passo 3

Agrupando os dois últimos termos em y obtemos
x(x+1)\,y' \;-\;x(x+1)\,y \;=\;(x+1)^2.
Dividindo tudo por x(x+1) (assumindo x\neq0 e x\neq-1) dá
y' - y = \frac{(x+1)^2}{x(x+1)} = \frac{x+1}{x} \;=\;1 + \frac1x.
Agora está na forma padrão
y' + P(x)\,y = Q(x), \quad P(x) = -1,\;\;Q(x)=1+\frac1x.

Passo 4

O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int -1\,dx} = e^{-x}.
Multiplicando a EDO por \mu(x) obtemos
e^{-x}y' - e^{-x}y = e^{-x}\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr) \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-x}\bigr) = e^{-x}\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr).

Passo 5

Integramos ambos os lados:
y\,e^{-x} = \int e^{-x}\,dx + \int \frac{e^{-x}}{x}\,dx + C.
Sabemos que
\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} \quad\text{e}\quad \int \frac{e^{-x}}{x}\,dx = \Ei(-x),
onde \Ei é a função integral exponencial. Assim
y\,e^{-x} = -e^{-x} + \Ei(-x) + C \;\Longrightarrow\; y = -1 + e^{x}\,\Ei(-x) + C\,e^{x}.

Resposta

A solução geral da EDO é
\boxed{y(x) = -1 + e^{x}\,\Ei(-x) + C\,e^{x},}
com C constante arbitrária.

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