1. Escreva \iiint_{W} 1 d V (volume da região W ), onde W é a região dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e fora do cilindro x^{2}+y^{2}=1, utilizando coordenadas:
    a) (0.4) Cartesianas.
    b) (0.4) Cilíndricas.
    c) (0.7) Esféricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região W definida por
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le4 \quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}\ge1,
isto é, dentro da esfera de raio 2 e fora do cilindro de raio 1. Vamos montar a integral tripla \iiint_{W}1\,dV em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, projetamos W no plano xy como
D=\{(x,y)\mid 1\le x^{2}+y^{2}\le4\},
e para cada (x,y)\in D, z varia de -\sqrt{4 - x^{2}-y^{2}} a +\sqrt{4 - x^{2}-y^{2}}. Assim,
\iiint_{W}1\,dV = \iint_{D} \Bigl[\, \int_{-\sqrt{4 - x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{4 - x^{2}-y^{2}}}dz \Bigr] dx\,dy.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), temos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dV=r\,dr\,d\theta\,dz. A região fica
1\le r\le2,\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad -\sqrt{4 - r^{2}}\le z\le\sqrt{4 - r^{2}},
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\iiint_{W}1\,dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{r=1}^{2} \int_{z=-\sqrt{4 - r^{2}}}^{\sqrt{4 - r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Em coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta), usamos
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,\quad dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
A esfera dá 0\le\rho\le2 e o cilindro exige \rho\sin\varphi\ge1. Para haver \rho\le2 e \rho\sin\varphi\ge1 precisamos de \sin\varphi\ge\tfrac12, ou seja \varphi\in[\tfrac\pi6,\tfrac{5\pi}6]. Assim,
\iiint_{W}1\,dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{\varphi=\pi/6}^{5\pi/6} \int_{\rho=1/\sin\varphi}^{2} \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Resposta

(a) \iiint_{W}1\,dV = \iint_{\substack{1\le x^{2}+y^{2}\le4}} \int_{-\sqrt{4 - x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{4 - x^{2}-y^{2}}} dz \,dx\,dy.
(b) \iiint_{W}1\,dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{2} \int_{-\sqrt{4 - r^{2}}}^{\sqrt{4 - r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.
(c) \iiint_{W}1\,dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{\pi/6}^{5\pi/6} \int_{1/\sin\varphi}^{2} \rho^{2}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

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