- Escreva
(volume da região
), onde
é a região dentro da esfera
e fora do cilindro
, utilizando coordenadas:
a) (0.4) Cartesianas.
b) (0.4) Cilíndricas.
c) (0.7) Esféricas.
a) (0.4) Cartesianas.
b) (0.4) Cilíndricas.
c) (0.7) Esféricas.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região
definida por
isto é, dentro da esfera de raio
e fora do cilindro de raio
. Vamos montar a integral tripla
em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.
Passo 2
Em coordenadas cartesianas, projetamos
no plano
como
e para cada
,
varia de
a
. Assim,
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas
, temos
,
,
. A região fica
logo
Passo 4
Em coordenadas esféricas
, usamos
A esfera dá
e o cilindro exige
. Para haver
e
precisamos de
, ou seja
. Assim,
Resposta
(a)
(b)
(c)