Calcule os limites:
\lim _{t \rightarrow 1} \frac{2 t^{2}-10 t+8}{t-1}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{t\to 1}\frac{2t^{2}-10t+8}{t-1}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{numerador} = 2t^{2}-10t+8,\qquad \text{denominador} = t-1.
Observação importante (apenas identificando dados, sem resolver ainda): ao substituir t=1 diretamente obtemos uma forma \tfrac{0}{0}, que é uma indeterminação — isto indica que precisamos manipular a expressão antes de calcular o limite.

Passo 2

Escolha do método: aqui podemos usar fatoração algébrica ou a regra de L’Hôpital. Vou usar fatoração algébrica porque é mais básica e rápida neste caso (o polinômio do numerador costuma fatorar bem), e porque em provas é comum preferir cancelamento algébrico quando dá para fazer sem derivadas. Explico o conceito que usarei: se um polinômio p(t) satisfaz p(a)=0, então (t-a) é um fator de p(t) (teorema do resto / fator). Assim vamos verificar se (t-1) divide o numerador.

Passo 3

Verificação de indeterminação e aplicação do teorema do resto: calcular o numerador em t=1:
2\cdot 1^{2}-10\cdot 1+8 = 2-10+8 = 0.
Como o numerador é zero em t=1, concluímos que (t-1) é fator do numerador.

Passo 4

Fatoração do numerador passo a passo: primeiro fator comum 2:
2t^{2}-10t+8 = 2\bigl(t^{2}-5t+4\bigr).
Agora fatoramos t^{2}-5t+4. Procuramos dois números cuja soma seja -5 e cujo produto seja 4. Esses números são -1 e -4, então
t^{2}-5t+4 = (t-1)(t-4).
Portanto
2t^{2}-10t+8 = 2(t-1)(t-4).

Passo 5

Cancelamento do fator comum (válido para t\neq 1): substituindo a fatoração na fração,
\frac{2t^{2}-10t+8}{t-1} = \frac{2(t-1)(t-4)}{t-1} = 2(t-4),\qquad \text{para } t\neq 1.
Comentários didáticos: a expressão original tem uma descontinuidade removível em t=1. Para calcular o limite quando t\to 1 podemos estudar a função equivalente 2(t-4), obtida após cancelar (t-1).

Passo 6

Cálculo do limite usando a expressão simplificada e continuidade: como 2(t-4) é um polinômio (função contínua), o limite é o valor obtido substituindo t=1:
\lim_{t\to 1}2(t-4) = 2(1-4) = 2\cdot(-3) = -6.

Passo 7

Verificação alternativa por L’Hôpital (cheque rápido): derivando numerador e denominador,
\text{num}'(t)=4t-10,\qquad \text{den}'(t)=1,
logo, por L’Hôpital,
\lim_{t\to 1}\frac{2t^{2}-10t+8}{t-1} = \lim_{t\to 1}\frac{4t-10}{1} = 4\cdot 1-10 = -6,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

-6

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