Calcule os limites:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Observação importante (apenas identificando dados, sem resolver ainda): ao substituir
diretamente obtemos uma forma
, que é uma indeterminação — isto indica que precisamos manipular a expressão antes de calcular o limite.
Passo 2
Escolha do método: aqui podemos usar fatoração algébrica ou a regra de L’Hôpital. Vou usar fatoração algébrica porque é mais básica e rápida neste caso (o polinômio do numerador costuma fatorar bem), e porque em provas é comum preferir cancelamento algébrico quando dá para fazer sem derivadas. Explico o conceito que usarei: se um polinômio
satisfaz
, então
é um fator de
(teorema do resto / fator). Assim vamos verificar se
divide o numerador.
Passo 3
Verificação de indeterminação e aplicação do teorema do resto: calcular o numerador em
:
Como o numerador é zero em
, concluímos que
é fator do numerador.
Passo 4
Fatoração do numerador passo a passo: primeiro fator comum
:
Agora fatoramos
. Procuramos dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Esses números são
e
, então
Portanto
Passo 5
Cancelamento do fator comum (válido para
): substituindo a fatoração na fração,
Comentários didáticos: a expressão original tem uma descontinuidade removível em
. Para calcular o limite quando
podemos estudar a função equivalente
, obtida após cancelar
.
Passo 6
Cálculo do limite usando a expressão simplificada e continuidade: como
é um polinômio (função contínua), o limite é o valor obtido substituindo
:
Passo 7
Verificação alternativa por L’Hôpital (cheque rápido): derivando numerador e denominador,
logo, por L’Hôpital,
confirmando o resultado anterior.