Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a
da expressão
Informações dadas:
- A variável é
e o processo é . - A expressão envolve raízes quadradas:
e . - O que se quer é o valor numérico do limite.
Passo 2
Escolha do método: como queremos um limite de uma diferença de raízes dividido por
e estamos em
, o método mais direto e elementar é racionalizar o numerador usando o conjugado. Esse método usa apenas identidade algébrica básica e evita cálculo avançado (derivadas). Vou usar esse caminho porque é simples, rápido e suficiente para a prova. (Como verificação, no final mostro rapidamente a interpretação via derivada, só como checagem.)
Passo 3
Lembrete da identidade que vamos usar (aula curtinha): para quaisquer números
e
vale
Aqui usamos o “conjugado” do numerador
, que é
. Multiplicar numerador e denominador por esse conjugado elimina as raízes no numerador via a identidade acima.
Passo 4
Aplicando a racionalização: multiplicamos numerador e denominador por
. Escrevo a transformação do limite:
Passo 5
Simplifico o numerador usando
e
:
Agora podemos cancelar o fator
(para
, e o limite trata de valores próximos a
, não exatamente
):
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
. A função
é contínua para
, portanto podemos substituir
diretamente na expressão simplificada:
Esse é o valor do limite.
Passo 7
Verificação alternativa (curta): interpretar o limite como a derivada de
no ponto
. A derivada é
, então
. Isso coincide com o resultado obtido pela racionalização, o que confirma a resposta.