Calcule os limites:
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sqrt{t+3}-\sqrt{3}}{t}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando t tende a 0 da expressão
\frac{\sqrt{t+3}-\sqrt{3}}{t}.
Informações dadas:
  • A variável é t e o processo é t \to 0.
  • A expressão envolve raízes quadradas: \sqrt{t+3} e \sqrt{3}.
  • O que se quer é o valor numérico do limite.

Passo 2

Escolha do método: como queremos um limite de uma diferença de raízes dividido por t e estamos em t\to0, o método mais direto e elementar é racionalizar o numerador usando o conjugado. Esse método usa apenas identidade algébrica básica e evita cálculo avançado (derivadas). Vou usar esse caminho porque é simples, rápido e suficiente para a prova. (Como verificação, no final mostro rapidamente a interpretação via derivada, só como checagem.)

Passo 3

Lembrete da identidade que vamos usar (aula curtinha): para quaisquer números a e b vale
(a-b)(a+b)=a^2-b^2.
Aqui usamos o “conjugado” do numerador \sqrt{t+3}-\sqrt{3}, que é \sqrt{t+3}+\sqrt{3}. Multiplicar numerador e denominador por esse conjugado elimina as raízes no numerador via a identidade acima.

Passo 4

Aplicando a racionalização: multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{t+3}+\sqrt{3}. Escrevo a transformação do limite:
\frac{\sqrt{t+3}-\sqrt{3}}{t} = \frac{\sqrt{t+3}-\sqrt{3}}{t}\cdot\frac{\sqrt{t+3}+\sqrt{3}}{\sqrt{t+3}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{t+3})^2-(\sqrt{3})^2}{t\bigl(\sqrt{t+3}+\sqrt{3}\bigr)}.

Passo 5

Simplifico o numerador usando (\sqrt{t+3})^2=t+3 e (\sqrt{3})^2=3:
\frac{t+3-3}{t\bigl(\sqrt{t+3}+\sqrt{3}\bigr)} = \frac{t}{t\bigl(\sqrt{t+3}+\sqrt{3}\bigr)}.
Agora podemos cancelar o fator t (para t\neq0, e o limite trata de valores próximos a 0, não exatamente 0):
\frac{t}{t\bigl(\sqrt{t+3}+\sqrt{3}\bigr)} = \frac{1}{\sqrt{t+3}+\sqrt{3}}.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando t\to0. A função \sqrt{x} é contínua para x\ge0, portanto podemos substituir t=0 diretamente na expressão simplificada:
\lim_{t\to 0}\frac{1}{\sqrt{t+3}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{0+3}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}.
Esse é o valor do limite.

Passo 7

Verificação alternativa (curta): interpretar o limite como a derivada de f(x)=\sqrt{x} no ponto x=3. A derivada é f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, então f'(3)=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}. Isso coincide com o resultado obtido pela racionalização, o que confirma a resposta.

Resposta

\dfrac{1}{2\sqrt{3}}

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