Determine o comprimento da curva dada. \mathbf{r}(t)=\langle t, \cos t, 3 \operatorname{sen} t\rangle, \quad-5 \leqslant t \leqslant 5 Passo 1O enunciado pede o comprimento da curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=\langle t,\cos t,3\operatorname{sen} t\rangle,\quad -5\le t\le5. Para isso, usaremos a fórmula do comprimento de curva em \mathbb{R}^3: L=\int_{a}^{b}\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt. Passo 2Calculamos a derivada componente a componente: \mathbf{r}'(t)=\langle1,\,-\operatorname{sen} t,\;3\cos t\rangle. O seu módulo é \bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\| =\sqrt{1^2+(-\operatorname{sen} t)^2+(3\cos t)^2} =\sqrt{1+\operatorname{sen}^2t+9\cos^2t}. Passo 3Simplificamos o radicando usando \cos^2t=1-\operatorname{sen}^2t: 1+\operatorname{sen}^2t+9(1-\operatorname{sen}^2t) =1+\operatorname{sen}^2t+9-9\operatorname{sen}^2t =10-8\operatorname{sen}^2t. Logo \bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|=\sqrt{10-8\operatorname{sen}^2t}. Passo 4O comprimento fica L=\int_{-5}^{5}\sqrt{10-8\operatorname{sen}^2t}\,dt. Como a função sob o radical depende de \operatorname{sen}^2t, que é par, temos L =2\int_{0}^{5}\sqrt{10-8\operatorname{sen}^2t}\,dt =2\sqrt{10}\int_{0}^{5}\sqrt{1-\frac{4}{5}\operatorname{sen}^2t}\,dt. Passo 5O integral \int_{0}^{5}\sqrt{1-\frac{4}{5}\operatorname{sen}^2t}\,dt não se expressa em termos de funções elementares, mas sim em termos de integral elíptica incompleta de segunda espécie. Definindo o módulo k^2=\tfrac{4}{5}, obtemos L =2\sqrt{10}\;E\Bigl(5\bigm|{\tfrac{4}{5}}\Bigr), onde E(\varphi\mid k^2) =\int_{0}^{\varphi}\sqrt{1-k^2\operatorname{sen}^2\theta}\,d\theta é a integral elíptica incompleta de segunda espécie. Resposta L =2\sqrt{10}\;E\Bigl(5\bigm|\tfrac{4}{5}\Bigr). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosA hipérbole \mathrm{z}=x^{2}-y^{2} e o cilindro x^{2}+y^{2}=1 13.2 Derivadas e Integrais de Funções Vetoriais 9-16 Determine a derivada da função vetorial. 9. \mathbf{r}(t)=\left\langle t \operatorname{sen} t, t^{2}, t \cos 2 t\right\rangle 10. \mathbf{r}(t)=\left\langle\operatorname{tg} t, \operatorname{sec} t, 1 / t^{2}\right\rangle 11. \mathbf{r}(t)=\mathbf{i}-\mathbf{j}+e^{4 t} \mathbf{k} 12. \mathbf{r}(t)=\frac{1}{1+t} \mathbf{i}+\frac{t}{1+t} \mathbf{j}+\frac{t^{2}}{1+t} \boldsymbol{k} 13. \mathbf{r}(t)=e^{t^{2}} \mathbf{i}-\mathbf{j}+\ln (1+3 t) \mathbf{k} 14. \mathbf{r}(t)=a t \cos 3 t \mathbf{i}+b \operatorname{sen}^{3} t \mathbf{j}+c \cos ^{3} t \mathbf{k} 15. \mathbf{r}(t)=\mathbf{a}+t \mathbf{b}+t^{2} \mathbf{c} 16. \mathbf{r}(t)=t \mathbf{a} \times(\mathbf{b}+t \mathbf{c}) Calcule os limites. 5. \lim _{t \rightarrow \infty}\left\langle\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}, \operatorname{tg}^{-1} t \frac{1-e^{-2 t}}{t}\right\rangle Encontre a curvatura da curva \mathbf{r}(t)=\left\langle e^{t} \cos t, e^{t} \operatorname{sen} t, t\right\rangle no ponto (1,0,0). 24. Encontre a curvatura de \mathbf{r}(t)=\left\langle t, t^{2}, t^{3}\right\rangle no ponto (1,1,1). Encontre a curvatura da curva \mathbf{r}(t)=\left\langle e^{t} \cos t, e^{t} \operatorname{sen} t, t\right\rangle no ponto (1,0,0). 24. Encontre a curvatura de \mathbf{r}(t)=\left\langle t, t^{2}, t^{3}\right\rangle no ponto (1,1,1).