Determine o comprimento da curva dada.
  1. \mathbf{r}(t)=\langle t, \cos t, 3 \operatorname{sen} t\rangle, \quad-5 \leqslant t \leqslant 5

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva parametrizada por
\mathbf{r}(t)=\langle t,\cos t,3\operatorname{sen} t\rangle,\quad -5\le t\le5.
Para isso, usaremos a fórmula do comprimento de curva em \mathbb{R}^3:
L=\int_{a}^{b}\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\langle1,\,-\operatorname{sen} t,\;3\cos t\rangle.
O seu módulo é
\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\| =\sqrt{1^2+(-\operatorname{sen} t)^2+(3\cos t)^2} =\sqrt{1+\operatorname{sen}^2t+9\cos^2t}.

Passo 3

Simplificamos o radicando usando \cos^2t=1-\operatorname{sen}^2t:
1+\operatorname{sen}^2t+9(1-\operatorname{sen}^2t) =1+\operatorname{sen}^2t+9-9\operatorname{sen}^2t =10-8\operatorname{sen}^2t.
Logo
\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|=\sqrt{10-8\operatorname{sen}^2t}.

Passo 4

O comprimento fica
L=\int_{-5}^{5}\sqrt{10-8\operatorname{sen}^2t}\,dt.
Como a função sob o radical depende de \operatorname{sen}^2t, que é par, temos
L =2\int_{0}^{5}\sqrt{10-8\operatorname{sen}^2t}\,dt =2\sqrt{10}\int_{0}^{5}\sqrt{1-\frac{4}{5}\operatorname{sen}^2t}\,dt.

Passo 5

O integral
\int_{0}^{5}\sqrt{1-\frac{4}{5}\operatorname{sen}^2t}\,dt
não se expressa em termos de funções elementares, mas sim em termos de integral elíptica incompleta de segunda espécie. Definindo o módulo k^2=\tfrac{4}{5}, obtemos
L =2\sqrt{10}\;E\Bigl(5\bigm|{\tfrac{4}{5}}\Bigr),
onde
E(\varphi\mid k^2) =\int_{0}^{\varphi}\sqrt{1-k^2\operatorname{sen}^2\theta}\,d\theta
é a integral elíptica incompleta de segunda espécie.

Resposta

L =2\sqrt{10}\;E\Bigl(5\bigm|\tfrac{4}{5}\Bigr).

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