Usando o argumento da diagonaliza ção de Cantor, mostre que o conjunto dos números reais não pode ser enumerado (Dica: utilize a expansão decimal dos números reais).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos números reais não pode ser enumerado, usando o argumento da diagonalização de Cantor e a dica da expansão decimal. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O objetivo é provar que não existe uma enumeração (lista) que contenha todos os números reais.
  • A dica sugere trabalhar com a expansão decimal dos números reais.
  • Pode-se utilizar uma versão do argumento que apenas usa os números em [0,1], já que isso é suficiente para concluir sobre todo \mathbb{R}.

Passo 2

Vou clarificar o que significa “enumerar” no contexto do problema: dizer que um conjunto é enumerável (countable, enumerável em bijeção com os naturais) significa que existe uma sequência que lista todos os seus elementos. Formalmente, o conjunto S é enumerável se existe uma sequência
x_1,x_2,x_3,\dots
tal que cada elemento de S aparece em alguma posição dessa sequência. Para obter uma contradição pelo método de Cantor, assumimos que tal sequência existe para os números em [0,1] e mostramos que sempre podemos construir um número em [0,1] que não aparece na sequência.

Passo 3

Redução do problema: basta provar que o intervalo [0,1] não é enumerável. Razão: [0,1]\subset\mathbb{R}, e se [0,1] não puder ser enumerado, então \mathbb{R} também não pode. Trabalhar em [0,1] é conveniente porque cada número tem uma expansão decimal da forma
0.d_1 d_2 d_3 \dots
com d_k\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}.

Passo 4

Observação importante sobre expansões decimais (para evitar ambiguidades): alguns números têm duas expansões decimais distintas, por exemplo
0,5000\ldots = 0,4999\ldots
(onde a notação 0,4999\ldots significa uma sequência infinita de 9). Para impedir problemas com essa ambiguidade, ao listar os números vamos escolher para cada número a expansão decimal que não termine em uma sequência infinita de 9s. Essa escolha é possível porque sempre que um número tem duas expansões uma delas termina em infinitos 9s e a outra não; então fixamos a que não termina em infinitos 9s. Assim cada número em [0,1] tem uma expansão decimal bem definida para o nosso argumento.

Passo 5

Assuma, por contradição, que [0,1] é enumerável. Então existe uma lista
x_1,x_2,x_3,\dots
onde cada x_n\in[0,1]. Escrevamos a expansão decimal escolhida (sem terminação em 9s) de cada x_n como
x_n = 0.d_{n1} d_{n2} d_{n3}\dots,
onde cada d_{nk}\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}. Aqui a notação é: d_{n1} é o primeiro dígito decimal de x_n, d_{n2} o segundo, e assim por diante.

Passo 6

Construção diagonal (a ideia central de Cantor): vamos construir um número y\in[0,1]\) cuja expansão decimal \(y=0.c_1 c_2 c_3\ldots\) é definida de modo que, para todo \(n\), \[c_n \neq d_{nn}.
Para garantir simplicidade e evitar a ambiguidade com dígitos 9, escolhemos c_n assim: se d_{nn}\neq 1 então c_n=1; se d_{nn}=1 então c_n=2. Em símbolos:
c_n = \begin{cases} 1, & \text{se } d_{nn}\neq 1,\\[4pt] 2, & \text{se } d_{nn}=1. \end{cases}
Assim cada c_n\in\{1,2\}\], logo não haverá terminação infinita de \(9s no número construído.]

Passo 7

Verificações essenciais:
  1. O número y=0.c_1 c_2 c_3\ldots pertence a [0,1] porque é uma expansão decimal válida com dígitos em \{0,\dots,9\}.
  2. Para cada índice n temos c_n\neq d_{nn} por construção. Portanto y difere de x_n no n-ésimo dígito decimal. Logo y\neq x_n para todo n.
  3. Consequência: y não aparece em nenhuma posição da lista x_1,x_2,x_3,\dots. Isso contradiz a suposição de que a lista enumerava todos os elementos de [0,1].

Passo 8

Como obtemos uma contradição (supondo que já tínhamos uma enumeração completa mas construímos explicitamente um número que não está nela), a hipótese inicial de que [0,1] é enumerável é falsa. Portanto [0,1] não é enumerável. Como [0,1]\subset\mathbb{R}, conclui-se que \mathbb{R} também não é enumerável.

Resposta

O conjunto dos números reais não pode ser enumerado; isto é, \mathbb{R} é não enumerável.

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