Usando o argumento da diagonaliza ção de Cantor, mostre que o conjunto dos números reais não pode ser enumerado (Dica: utilize a expansão decimal dos números reais).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos números reais não pode ser enumerado, usando o argumento da diagonalização de Cantor e a dica da expansão decimal. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O objetivo é provar que não existe uma enumeração (lista) que contenha todos os números reais.
- A dica sugere trabalhar com a expansão decimal dos números reais.
- Pode-se utilizar uma versão do argumento que apenas usa os números em
, já que isso é suficiente para concluir sobre todo .
Passo 2
Vou clarificar o que significa “enumerar” no contexto do problema: dizer que um conjunto é enumerável (countable, enumerável em bijeção com os naturais) significa que existe uma sequência que lista todos os seus elementos. Formalmente, o conjunto
é enumerável se existe uma sequência
tal que cada elemento de
aparece em alguma posição dessa sequência. Para obter uma contradição pelo método de Cantor, assumimos que tal sequência existe para os números em
e mostramos que sempre podemos construir um número em
que não aparece na sequência.
Passo 3
Redução do problema: basta provar que o intervalo
não é enumerável. Razão:
, e se
não puder ser enumerado, então
também não pode. Trabalhar em
é conveniente porque cada número tem uma expansão decimal da forma
com
.
Passo 4
Observação importante sobre expansões decimais (para evitar ambiguidades): alguns números têm duas expansões decimais distintas, por exemplo
(onde a notação
significa uma sequência infinita de
). Para impedir problemas com essa ambiguidade, ao listar os números vamos escolher para cada número a expansão decimal que não termine em uma sequência infinita de
s. Essa escolha é possível porque sempre que um número tem duas expansões uma delas termina em infinitos
s e a outra não; então fixamos a que não termina em infinitos
s. Assim cada número em
tem uma expansão decimal bem definida para o nosso argumento.
Passo 5
Assuma, por contradição, que
é enumerável. Então existe uma lista
onde cada
. Escrevamos a expansão decimal escolhida (sem terminação em
s) de cada
como
onde cada
. Aqui a notação é:
é o primeiro dígito decimal de
,
o segundo, e assim por diante.
Passo 6
Construção diagonal (a ideia central de Cantor): vamos construir um número
Para garantir simplicidade e evitar a ambiguidade com dígitos
, escolhemos
assim: se
então
; se
então
. Em símbolos:
Assim cada
s no número construído.]
Passo 7
Verificações essenciais:
- O número
pertence a porque é uma expansão decimal válida com dígitos em . - Para cada índice
temos por construção. Portanto difere de no -ésimo dígito decimal. Logo para todo . - Consequência:
não aparece em nenhuma posição da lista . Isso contradiz a suposição de que a lista enumerava todos os elementos de .
Passo 8
Como obtemos uma contradição (supondo que já tínhamos uma enumeração completa mas construímos explicitamente um número que não está nela), a hipótese inicial de que
é enumerável é falsa. Portanto
não é enumerável. Como
, conclui-se que
também não é enumerável.
Resposta
O conjunto dos números reais não pode ser enumerado; isto é,
é não enumerável.