Calcule os limites.
Passo 1
Vou deixar claro o que o problema pede e o que nos é dado. O enunciado pede calcular o limite
As informações relevantes (as três componentes do vetor) são:
- componente em
: ; - componente em
: ; - componente em
: .
Passo 2
Regra importante que vamos usar: o limite de uma função vetorial é calculado componente a componente. Ou seja, se
e cada limite
existe, então
Portanto vamos calcular os três limites escalares separados.
Passo 3
Calcular o limite da componente em
:
A função exponencial é contínua em todo ponto, então podemos simplesmente substituir
no expoente:
Explicação curta: continuidade significa que
quando
existe; aqui
e
.
Passo 4
Calcular o limite da componente em
:
Reescrevemos a expressão como um quadrado:
Usamos o limite bem conhecido (fundamental para pequenos ângulos):
Isso implica que
(elevando ao quadrado preserva o limite), logo
Breve comentário didático: uma maneira rápida de ver
é usar a série de Taylor
, que dá
quando
. Isso é padrão em provas e em cálculos de limites envolvendo seno.
Passo 5
Calcular o limite da componente em
:
A função cosseno é contínua, então podemos avaliar no ponto:
Outra forma de ver: para pequenos
,
, e o limite é exatamente 1.
Passo 6
Resumindo os resultados dos limites das componentes:
- para
: ; - para
: ; - para
: .
Pelo passo 2 (limite componente a componente), o limite vetorial existe e é formado por essas três constantes nas direções
.