Calcule os limites.
\lim _{t \rightarrow 0}\left(e^{-3 t} \mathbf{i}+\frac{t^{2}}{\operatorname{sen}^{2} t} \mathbf{j}+\cos 2 t \mathbf{k}\right)

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e o que nos é dado. O enunciado pede calcular o limite
\lim_{t\to 0}\left(e^{-3t}\mathbf{i}+\frac{t^{2}}{\operatorname{sen}^{2}t}\mathbf{j}+\cos 2t\,\mathbf{k}\right).
As informações relevantes (as três componentes do vetor) são:
  • componente em \mathbf{i}: e^{-3t};
  • componente em \mathbf{j}: \dfrac{t^{2}}{\operatorname{sen}^{2}t};
  • componente em \mathbf{k}: \cos 2t.

Passo 2

Regra importante que vamos usar: o limite de uma função vetorial é calculado componente a componente. Ou seja, se \mathbf{v}(t)=v_1(t)\mathbf{i}+v_2(t)\mathbf{j}+v_3(t)\mathbf{k} e cada limite \lim_{t\to 0}v_i(t) existe, então
\lim_{t\to0}\mathbf{v}(t)=\left(\lim_{t\to0}v_1(t)\right)\mathbf{i}+\left(\lim_{t\to0}v_2(t)\right)\mathbf{j}+\left(\lim_{t\to0}v_3(t)\right)\mathbf{k}.
Portanto vamos calcular os três limites escalares separados.

Passo 3

Calcular o limite da componente em \mathbf{i}:
\lim_{t\to0} e^{-3t}.
A função exponencial é contínua em todo ponto, então podemos simplesmente substituir t=0 no expoente:
\lim_{t\to0} e^{-3t} = e^{0} = 1.
Explicação curta: continuidade significa que \lim_{t\to0} e^{f(t)} = e^{\lim_{t\to0} f(t)} quando \lim f(t) existe; aqui f(t)=-3t e \lim_{t\to0}-3t=0.

Passo 4

Calcular o limite da componente em \mathbf{j}:
\lim_{t\to0} \frac{t^{2}}{\operatorname{sen}^{2}t}.
Reescrevemos a expressão como um quadrado:
\frac{t^{2}}{\operatorname{sen}^{2}t} = \left(\frac{t}{\operatorname{sen}t}\right)^{2}.
Usamos o limite bem conhecido (fundamental para pequenos ângulos):
\lim_{t\to0} \frac{\operatorname{sen}t}{t} = 1.
Isso implica que
\lim_{t\to0} \frac{t}{\operatorname{sen}t} = 1
(elevando ao quadrado preserva o limite), logo
\lim_{t\to0} \left(\frac{t}{\operatorname{sen}t}\right)^{2} = 1^{2} = 1.
Breve comentário didático: uma maneira rápida de ver \lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1 é usar a série de Taylor \sin t = t - \tfrac{t^{3}}{6}+\cdots, que dá \sin t/t \to 1 quando t\to0. Isso é padrão em provas e em cálculos de limites envolvendo seno.

Passo 5

Calcular o limite da componente em \mathbf{k}:
\lim_{t\to0} \cos 2t.
A função cosseno é contínua, então podemos avaliar no ponto:
\lim_{t\to0} \cos 2t = \cos 0 = 1.
Outra forma de ver: para pequenos t, \cos 2t \approx 1, e o limite é exatamente 1.

Passo 6

Resumindo os resultados dos limites das componentes:
  • para \mathbf{i}: \lim_{t\to0} e^{-3t} = 1;
  • para \mathbf{j}: \lim_{t\to0} \dfrac{t^{2}}{\operatorname{sen}^{2}t} = 1;
  • para \mathbf{k}: \lim_{t\to0} \cos 2t = 1.
Pelo passo 2 (limite componente a componente), o limite vetorial existe e é formado por essas três constantes nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}.

Resposta

\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}

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