Calcule os limites
\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin (5 \theta)}{\theta+\tan (4 \theta)}(14 pontos )

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin(5\theta)}{\theta+\tan(4\theta)}.
Informações relevantes dadas:
\text{numerador: }\sin(5\theta),\qquad \text{denominador: }\theta+\tan(4\theta),
a variável que tende é \theta e o ponto de interesse é \theta\to 0.
Não há outras condições no enunciado; a missão é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Estratégia algébrica inicial (sem ainda avaliar limites): fatoramos termos em \theta para identificar formas conhecidas. Podemos dividir numerador e denominador por \theta (assumindo \theta\neq 0 durante o processo), obtendo
\frac{\sin(5\theta)}{\theta+\tan(4\theta)} = \frac{\displaystyle\frac{\sin(5\theta)}{\theta}}{\displaystyle 1+\frac{\tan(4\theta)}{\theta}}.
Também é útil escrever \displaystyle\frac{\sin(5\theta)}{\theta} como 5\cdot\frac{\sin(5\theta)}{5\theta}. Então
\frac{\sin(5\theta)}{\theta+\tan(4\theta)} = \frac{5\cdot\displaystyle\frac{\sin(5\theta)}{5\theta}}{\,1+\displaystyle\frac{\tan(4\theta)}{\theta}\,}.

Passo 3

Lembra daquele limite padrão que cai sempre nas provas? Vamos revisá-lo com calma, porque vamos usá-lo: \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Por que isso é verdade (mini-aula)? Para 0<x<\frac{\pi}{2} há a desigualdade geométrica clássica
\sin x < x < \tan x.
Dividindo essa desigualdade por \sin x (positivo nessa faixa) obtemos
1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}.
Invertendo os termos (já que todos positivos), temos
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
Ao fazer x\to 0^+ a função \cos x tende a 1, então por crivo (squeeze) vem \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1. Pelo comportamento ímpar da razão \sin x/x (simétrica nas duas direções), o mesmo vale para x\to 0^-. Logo
\boxed{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.}

Passo 4

Usando o resultado acima, conseguimos também o limite para a tangente:
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}.
Aqui usamos que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Como \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 e \displaystyle\lim_{x\to 0}\cos x=1, pelo produto e quociente de limites obtemos
\boxed{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1.}

Passo 5

Voltemos à expressão do Passo 2. Vamos avaliar cada parte usando os limites padrões que acabamos de relembrar.
Primeiro,
\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin(5\theta)}{5\theta}=1,
portanto
\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin(5\theta)}{\theta}= \lim_{\theta\to 0} 5\cdot\frac{\sin(5\theta)}{5\theta} = 5\cdot 1 = 5.
Segundo, para a parte com a tangente, escrevemos
\frac{\tan(4\theta)}{\theta}=4\cdot\frac{\tan(4\theta)}{4\theta},
e como \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\tan u}{u}=1, com u=4\theta temos \displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{\tan(4\theta)}{4\theta}=1. Logo
\lim_{\theta\to 0}\frac{\tan(4\theta)}{\theta}=4\cdot 1 = 4.

Passo 6

Agora aplicamos esses limites na fórmula do Passo 2. Lembrando
\frac{\sin(5\theta)}{\theta+\tan(4\theta)} = \frac{\displaystyle\frac{\sin(5\theta)}{\theta}}{\displaystyle 1+\frac{\tan(4\theta)}{\theta}},
tomando limite em \theta\to 0 e usando que limites de numerador e denominador existem:
\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin(5\theta)}{\theta+\tan(4\theta)} = \frac{\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin(5\theta)}{\theta}}{\displaystyle 1+\lim_{\theta\to 0}\frac{\tan(4\theta)}{\theta}} = \frac{5}{1+4} = \frac{5}{5} = 1.

Resposta

\,1

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