Calcule os limites
pontos
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações relevantes dadas:
a variável que tende é
e o ponto de interesse é
.
Não há outras condições no enunciado; a missão é encontrar o valor numérico desse limite.
Não há outras condições no enunciado; a missão é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Estratégia algébrica inicial (sem ainda avaliar limites): fatoramos termos em
para identificar formas conhecidas. Podemos dividir numerador e denominador por
(assumindo
durante o processo), obtendo
Também é útil escrever
como
. Então
Passo 3
Lembra daquele limite padrão que cai sempre nas provas? Vamos revisá-lo com calma, porque vamos usá-lo:
.
Por que isso é verdade (mini-aula)? Para
há a desigualdade geométrica clássica
Dividindo essa desigualdade por
(positivo nessa faixa) obtemos
Invertendo os termos (já que todos positivos), temos
Ao fazer
a função
tende a
, então por crivo (squeeze) vem
. Pelo comportamento ímpar da razão
(simétrica nas duas direções), o mesmo vale para
. Logo
Passo 4
Usando o resultado acima, conseguimos também o limite para a tangente:
Aqui usamos que
. Como
e
, pelo produto e quociente de limites obtemos
Passo 5
Voltemos à expressão do Passo 2. Vamos avaliar cada parte usando os limites padrões que acabamos de relembrar.
Primeiro,
portanto
Segundo, para a parte com a tangente, escrevemos
e como
, com
temos
. Logo
Passo 6
Agora aplicamos esses limites na fórmula do Passo 2. Lembrando
tomando limite em
e usando que limites de numerador e denominador existem: