Calcule os limites
\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan (4 \theta)}{\theta}(10 pontos )

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{\tan(4\theta)}{\theta}.
Informações dadas: a variável que tende a zero é \theta e a expressão é \tan(4\theta)/\theta. Não há outras condições explícitas; devemos avaliar o comportamento quando \theta se aproxima de 0.

Passo 2

Vou lembrar um fato muito útil (e que vamos justificar): o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Explicação didática (prova por desigualdades — ideia geométrica): para x pequeno e positivo, usando a construção geométrica no círculo unitário temos a desigualdade
\sin x < x < \tan x.
Dividindo tudo por \sin x (positivo para x próximo de 0 mas não nulo) obtemos
1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}.
Invertendo (e lembrando que ao inverter desigualdades positivas a direção se mantém), ou simplesmente dividindo a desigualdade original por x, obtemos a forma
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
Como \lim_{x\to 0}\cos x = 1, pelo Teorema do Sanduíche (squeeze theorem) segue que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Isso vale também quando x se aproxima de 0 por valores negativos (função é par no quociente), então o limite existe e é 1.

Passo 3

Agora uso a identidade trigonométrica
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.
Portanto
\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}.
Ao tomar limite x\to 0 temos \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 (do passo anterior) e \lim_{x\to 0}\cos x=1, logo
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1\cdot\frac{1}{1}=1.
Ou seja, para ângulos pequenos \tan x é aproximadamente x.

Passo 4

Volto ao limite pedido. Faço uma manipulação algébrica útil: fatoro 4 no denominador/ numerador
\frac{\tan(4\theta)}{\theta} =4\cdot\frac{\tan(4\theta)}{4\theta}.
Isso é legítimo porque \theta\neq 0 nas aproximações (estamos apenas considerando o limite) e constantes podem ser puxadas para fora do limite.

Passo 5

Agora tomo limite em ambos os lados usando a propriedade que se \lim_{u\to 0}f(u)=L então \lim_{u\to 0}c\,f(u)=cL. Como do Passo 3 sabemos que
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1,
podemos aplicar com x=4\theta (quando \theta\to 0, x\to 0). Portanto
\lim_{\theta\to 0}\frac{\tan(4\theta)}{\theta} =4\cdot\lim_{\theta\to 0}\frac{\tan(4\theta)}{4\theta} =4\cdot 1=4.
Intuição final: para ângulos muito pequenos \tan(4\theta)\approx 4\theta, então a razão com \theta dá aproximadamente 4.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar: se pedissem \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}, procederíamos igual:
\frac{\sin(3x)}{x}=3\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}\longrightarrow 3\cdot 1 = 3.
Isso reforça a técnica de substituir ou fatorar a constante que multiplica a variável pequena.

Resposta

\;4

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