Calcule os limites
pontos
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: a variável que tende a zero é
e a expressão é
. Não há outras condições explícitas; devemos avaliar o comportamento quando
se aproxima de
.
Passo 2
Vou lembrar um fato muito útil (e que vamos justificar): o limite
Explicação didática (prova por desigualdades — ideia geométrica): para
pequeno e positivo, usando a construção geométrica no círculo unitário temos a desigualdade
Dividindo tudo por
(positivo para
próximo de
mas não nulo) obtemos
Invertendo (e lembrando que ao inverter desigualdades positivas a direção se mantém), ou simplesmente dividindo a desigualdade original por
, obtemos a forma
Como
, pelo Teorema do Sanduíche (squeeze theorem) segue que
Isso vale também quando
se aproxima de
por valores negativos (função é par no quociente), então o limite existe e é
.
Passo 3
Agora uso a identidade trigonométrica
Portanto
Ao tomar limite
temos
(do passo anterior) e
, logo
Ou seja, para ângulos pequenos
é aproximadamente
.
Passo 4
Volto ao limite pedido. Faço uma manipulação algébrica útil: fatoro
no denominador/ numerador
Isso é legítimo porque
nas aproximações (estamos apenas considerando o limite) e constantes podem ser puxadas para fora do limite.
Passo 5
Agora tomo limite em ambos os lados usando a propriedade que se
então
. Como do Passo 3 sabemos que
podemos aplicar com
(quando
,
). Portanto
Intuição final: para ângulos muito pequenos
, então a razão com
dá aproximadamente
.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar: se pedissem
, procederíamos igual:
Isso reforça a técnica de substituir ou fatorar a constante que multiplica a variável pequena.