(1 pto.) (1) Mostre que as funções f_{1}(x)=e^{\alpha x} e f_{2}(x)=e^{\beta x} são LI para \alpha \neq \beta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções \,f_{1}(x)=e^{\alpha x}\, e \,f_{2}(x)=e^{\beta x}\, são linearmente independentes quando \alpha\neq\beta.
Informações dadas: \alpha e \beta são constantes com \alpha\neq\beta; as funções são as exponenciais indicadas (domínio presumido: todos os reais).
Pergunta: provar que não existe combinação linear não-trivial dessas funções que seja a função zero (ou seja, provar que os únicos coeficientes c_{1},c_{2} que satisfazem c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)=0 para todo x são c_{1}=c_{2}=0).

Passo 2

Definição útil (explicada passo a passo): duas funções g e h são linearmente independentes se, sempre que existirem constantes c_{1},c_{2} tais que
c_{1}g(x)+c_{2}h(x)=0\quad\text{para todo }x,
então necessariamente c_{1}=c_{2}=0.
Aqui vamos aplicar exatamente essa definição a g=f_{1} e h=f_{2}.

Passo 3

Assumimos, para provar que isso só ocorre com coeficientes nulos, que existem constantes c_{1} e c_{2} tais que
c_{1}e^{\alpha x}+c_{2}e^{\beta x}=0\quad\text{para todo }x.
Nosso objetivo é mostrar que dessa igualdade segue c_{1}=c_{2}=0.

Passo 4

A primeira informação que tiramos é avaliando a igualdade em um ponto conveniente, por exemplo em x=0. Substituindo x=0 obtemos
c_{1}e^{\alpha\cdot 0}+c_{2}e^{\beta\cdot 0}=0 \quad\Rightarrow\quad c_{1}+c_{2}=0.
Expliquei: usei e^{0}=1, por isso ficou simplesmente c_{1}+c_{2}=0.

Passo 5

Para obter uma segunda equação para c_{1} e c_{2} diferenciamos a relação inicial em x. A derivada de e^{\alpha x} é \alpha e^{\alpha x} e a de e^{\beta x} é \beta e^{\beta x}, logo obtemos
c_{1}\alpha e^{\alpha x}+c_{2}\beta e^{\beta x}=0\quad\text{para todo }x.
Avaliamo-la em x=0 (novamente conveniente) e temos
c_{1}\alpha + c_{2}\beta = 0.
Expliquei: usar derivada aqui é uma técnica padrão porque transforma os expoentes em fatores constantes ( \alpha,\beta), dando outra equação linear nas mesmas incógnitas c_{1},c_{2}.

Passo 6

Agora resolvemos o sistema linear formado por
\begin{cases} c_{1}+c_{2}=0,\\[4pt] c_{1}\alpha + c_{2}\beta = 0. \end{cases}
Subtraindo \alpha vezes a primeira equação da segunda obtemos
(c_{1}\alpha + c_{2}\beta) - \alpha(c_{1}+c_{2}) = 0 - 0 \quad\Rightarrow\quad c_{2}(\beta-\alpha)=0.
Como \beta-\alpha\neq 0 (hipótese do enunciado), segue c_{2}=0. Substituindo em c_{1}+c_{2}=0 vem c_{1}=0. Portanto os únicos coeficientes que satisfazem a relação são c_{1}=c_{2}=0. Concluímos que f_{1} e f_{2} são linearmente independentes.]

Passo 7

Comentário extra (método alternativo curto): o Wronskiano das duas funções é
W(x)=\begin{vmatrix} e^{\alpha x} & e^{\beta x}\\[4pt] \alpha e^{\alpha x} & \beta e^{\beta x} \end{vmatrix} =(\beta-\alpha)e^{(\alpha+\beta)x},
que é não-nulo para todo x quando \alpha\neq\beta. Um Wronskiano não-nulo garante independência linear — isto é uma verificação rápida alternativa.]

Resposta

As funções \,e^{\alpha x}\, e \,e^{\beta x}\, são linearmente independentes quando \alpha\neq\beta.

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