Calcule os limites:
lim x 2 2 x^2-10 x+12x^2-11 x+18

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 2 2x^2 - 10x + 12x^2 - 11x + 18
Aqui estamos trabalhando com limites de funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão fatorando os polinômios do numerador e do denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar substituindo $ x = 2 $ diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite facilmente:
x = 2
Obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador $ 2x^{2} - 10x + 12 $. Primeiro, podemos fatorar um 2:
2x^2 - 10x + 12
Agora, fatoramos o polinômio quadrático dentro dos parênteses:
2x^2 - 10x + 12 = 2(x^2 - 5x + 6)
Então, o numerador fica:
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador $ x^{2} - 11x + 18 $. Procuramos dois números que multiplicados dão 18 e somados dão -11. Esses números são -2 e -9:
x^2 - 11x + 18
Então, o denominador fica:
x^2 - 11x + 18 = (x - 2)(x - 9)

Passo 5

Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, substituímos na expressão original:
2(x - 2)(x - 3)(x - 2)(x - 9)
Percebemos que podemos cancelar o fator comum $ (x - 2) $:
(x - 2)

Passo 6

Agora, substituímos $ x = 2 $ na expressão simplificada:
x = 2

Resposta

O limite é $ \frac{2}{7} $.

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