Calcule os limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui estamos trabalhando com limites de funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão fatorando os polinômios do numerador e do denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar substituindo $ x = 2 $ diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite facilmente:
Obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador $ 2x^{2} - 10x + 12 $. Primeiro, podemos fatorar um 2:
Agora, fatoramos o polinômio quadrático dentro dos parênteses:
Então, o numerador fica:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o denominador $ x^{2} - 11x + 18 $. Procuramos dois números que multiplicados dão 18 e somados dão -11. Esses números são -2 e -9:
Então, o denominador fica:
Passo 5
Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, substituímos na expressão original:
Percebemos que podemos cancelar o fator comum $ (x - 2) $:
Passo 6
Agora, substituímos $ x = 2 $ na expressão simplificada:
Resposta
O limite é $ \frac{2}{7} $.