Usando transformada de Laplace, resolva as equações diferenciais para determinar a função y(t) em cada um dos itens a seguir.
y^prime prime-y=sen t y(0)=1 y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' - y = sin t, y(0)=1, y'(0)=0
usando transformada de Laplace. Vamos usar que
  1. Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0).
  2. Lsin t(s)=dfrac1s^2+1.
  3. Linearidade da transformada e tabela básica de inversão.

Passo 2

Aplicando L em ambos os lados de y''-y=sin t, obtemos
Ly''(s);-;Ly(s) =1s^2+1
Como y(0)=1 e y'(0)=0, temos
s^2Y(s)-s - Y(s)=1s^2+1

Passo 3

Agrupando Y(s), vem
(s^2-1),Y(s)=s+1s^2+1,
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Y(s) =s + 1s^2+1s^2-1 =s^3 + s + 1(s-1)(s+1)(s^2+1)

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais
s^3 + s + 1(s-1)(s+1)(s^2+1) =As-1+Bs+1+Cs+Ds^2+1
Multiplicando por (s-1)(s+1)(s^2+1) e igualando coeficientes, resolve-se o sistema para
A=tfrac34, B=tfrac14, C=0, D=-tfrac12
Portanto
Y(s) =3/4s-1+1/4s+1-1/2s^2+1

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
L^-1tfrac1s-1=e^t,
L^-1tfrac1s+1=e^-t,
L^-1tfrac1s^2+1=sin t.
Assim
y(t) =34e^t+14e^-t -12sin t

Resposta

y(t)=34e^t+14e^-t-12sin t

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