Calcule os limites:
lim x -infty 2 x+5raizx^2-6 x+9

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma fração quando x tende a menos infinito. A expressão é:
lim x -infty 2x + 5raizx^2 - 6x + 9
Vamos usar conceitos de limites no infinito e manipulação algébrica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, observamos que tanto o numerador quanto o denominador envolvem termos de x . Para facilitar, vamos identificar os termos de maior grau em cada parte. No numerador, o termo de maior grau é 2x , e dentro da raiz do denominador, o termo de maior grau é x^2 .

Passo 3

No denominador, temos uma raiz quadrada. Para simplificar, vamos fatorar x^2 de dentro da raiz:
raizx^2 - 6x + 9 = raizx^2(1 - 6x + 9x^2) = |x|raiz1 - 6x + 9x^2
Como x está tendendo a menos infinito ( x -infty ), |x| = -x (porque x é negativo).

Passo 4

Agora, reescrevemos a expressão original substituindo o denominador:
2x + 5raizx^2 - 6x + 9 = 2x + 5-xraiz1 - 6x + 9x^2
Dividindo numerador e denominador por x :
2 + 5x-raiz1 - 6x + 9x^2

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando x tende a menos infinito. Os termos 5x , 6x e 9x^2 tendem a zero. Assim, a expressão simplifica para:
2 + 0- raiz1 - 0 + 0 = 2-1 = -2

Resposta

O limite é igual a -2.

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