Calcule os limites:
lim x 3 x^13-3^13x-3

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular o limite limxto3x^1/3-3^1/3x-3. O conteúdo envolve limites, forma indeterminada 0/0 e técnicas de simplificação algébrica (ou interpretação como derivada da função f(x)=x^1/3).

Passo 2

Verificação da forma indeterminada: ao substituir x=3, o numerador vira 3^1/3-3^1/3=0 e o denominador vira 3-3=0, gerando a indeterminação tfrac00. Precisamos, então, manipular a expressão para remover essa indeterminação.

Passo 3

Fatoração de diferença de cubos: para quaisquer a e b, vale
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
Escolhendo a=x^1/3 e b=3^1/3, temos a^3-b^3=x-3. Logo,
x-3=(x^1/3-3^1/3)(x^2/3+x^1/33^1/3+3^2/3)
Assim o quociente simplifica-se para
x^1/3-3^1/3x-3=1x^2/3+x^1/33^1/3+3^2/3

Passo 4

Cálculo do limite da expressão simplificada: aplicando xto3 no denominador,
$$3{2/3}+3{1/3}\cdot3{1/3}+3{2/3}=3{2/3}+3{2/3}+3{2/3}=3\cdot3{2/3}=3^{5/3}.
$$
Portanto, o limite original é 3^2/3+3^1/3cdot3^1/3+3^2/3=3^2/3+3^2/3+3^2/3=3cdot3^2/3=3^5/3 .

Resposta

13^5/3

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