3- (7.5 pontos) Mostre se a série converge ou diverge
d) sumk=1^infty(3 k1+4 k)^-k

Passo 1

O enunciado nos pede para examinar a convergência da série sumk=1^inftyl(tfrac3k1+4kr)^-k. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries de termos positivos, em particular o teste da raiz n-ésima.

Passo 2

Começamos reescrevendo o termo geral. Seja ak=l(tfrac3k1+4kr)^-k. Então
ak=l(1+4k3kr)^k=l(43+13kr)^k=l(43r)^kl(1+14kr)^k

Passo 3

Para aplicar o teste da raiz, calculamos o limite da k-ésima raiz positiva:
L=limktoinftyraiz[k]ak=limktoinftyl(43+13kr)=43

Passo 4

Pelo teste da raiz, se L>1 a série diverge (se L<1 converge, e L=1 é inconclusivo). Aqui L=4/3>1, logo a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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