Calcule os limites:
lim x p x^3-x^px-p

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto p x^3 - x^px - p. O conteúdo aqui envolve portas de indeterminação e derivadas (especificamente, vamos usar a regra de L’Hôpital e a derivada de x^n).

Passo 2

Primeiro, verificamos a forma indeterminada substituindo x = p: o numerador fica p^3 - p^p e o denominador fica 0. Para que seja 0/0 (e possamos aplicar L’Hôpital), precisamos que p^3 - p^p = 0. Admitindo que esse seja o caso, seguimos.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se limxto a f(x)=0 e limxto a g(x)=0, então limxto a f(x)g(x)=limxto a f'(x)g'(x), desde que este segundo limite exista.

Passo 4

Derivamos numerador e denominador separadamente. Para a função f(x)=x^3 - x^p temos:
f'(x)=3x^2 - p,x^p-1

Passo 5

O denominador g(x)=x - p tem derivada g'(x)=1.

Passo 6

Agora avaliamos no ponto x=p:
limxto pf'(x)g'(x)=f'(p)=3p^2 - p,p^p-1=3p^2 - p^p

Resposta

3p^2 - p^p

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