Calcule os limites:
lim x 0 1x^2 integral0^x 2 traizt^3+1 d t.

Passo 1

O enunciado pede
limxto01x^2integral0^x2,traizt^3+1,dt
Este tipo de limite envolve uma integral no numerador que também tende a zero quando xto0, gerando uma forma indeterminada do tipo 0/0. Para resolver, podemos usar a Regra de L’Hôpital na forma
limxto0F(x)x^2,
onde F(x)=integral0^xf(t),dt.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada. Quando xto0, o integrando é
f(t)=2,traizt^3+1Longrightarrow f(0)=0,
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F(x)=integral0^xf(t),dtto0 e x^2to0,
confirmando 0/0.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hôpital, diferenciando numerador e denominador:
limxto0F(x)x^2 =limxto0F'(x)(x^2)' =limxto02xraizx^3+12x

Passo 4

Simplificamos a fração:
2xraizx^3+12x =2x2x,raizx^3+1 =1raizx^3+1
Tomando xto0,
1raizx^3+1to1raiz0+1=1

Resposta

O valor do limite é 1.

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