Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=integral0^sin x 1raiz1-r^2 d r, |x|<pi2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = integral0^sin x 1raiz1 - r^2,dr, |x|<pi2
Queremos calcular f'(x). Para isso, usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental, a derivada de
integral0^sin x g(r),dr
é g(sin x) vezes a derivada de sin x. Aqui g(r)=1/raiz1-r^2. Assim,
f'(x) = 1raiz1 - (sin x)^2 cdot (sin x)' = 1raiz1 - (sin x)^2 cdot cos x

Passo 3

Observamos que
1 - (sin x)^2 = (cos x)^2,
logo
raiz1 - (sin x)^2 = |cos x|
Como |x|<pi/2 implica cos x>0, temos |cos x| = cos x. Logo,
f'(x) = cos xcos x = 1

Resposta

1

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