Calcule os limites:
lim x infty 1x^2 integral0^x ln (1+e^t) d t.

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinfty1x^2integral0^xlnl(1+e^tr),dt
O conteúdo é cálculo de limites envolvendo integrais e vamos usar a regra de l’Hospital para funções que tendem a infinito.

Passo 2

Definimos
F(x)=integral0^xlnl(1+e^tr),dt e G(x)=x^2
Para xtoinfty temos F(x)toinfty e G(x)toinfty, então podemos aplicar l’Hospital:
limxtoinftyF(x)G(x) =limxtoinftyF'(x)G'(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas:
F'(x)=lnl(1+e^xr), G'(x)=2x
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limxtoinftyF(x)G(x) =limxtoinftylnl(1+e^xr)2x

Passo 4

Para xtoinfty vale
lnl(1+e^xr) =x+lnl(1+e^-xr) =x+o(1),
onde o(1)to0. Então
limxtoinftyx+o(1)2x =12

Resposta

12

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