Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=integraltan x^0 11+s^2 d s.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=integraltan x^011+s^2,ds
e pede a sua derivada f'(x). Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de Leibniz para integral com limite variável.

Passo 2

Invertemos os limites para escrever a integral em forma padrão:
f(x)=-integral0^tan x11+s^2,ds

Passo 3

Se definimos
F(u)=integral0^u11+s^2,ds,
o Teorema Fundamental nos diz que F'(u)=11+u^2. Aplicando a Regra da Cadeia em f(x)=-F(tan x), obtemos
f'(x)=-F'(tan x)cdotddx(tan x) =-11+(tan x)^2cdotddx(tan x)

Passo 4

Sabendo que ddx(tan x)=sec^2x e que 1+tan^2x=sec^2x, segue
f'(x)=-sec^2xsec^2x=-1

Resposta

f'(x) = -1

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