Calcule os limites
lim x 0 x^2+sen x-sen x cos xx sen x

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos calcular o limite limxto0x^2+sin x-sin xcos xxsin x. O conteúdo é limites de funções e vamos usar o desenvolvimento em série de Taylor para sin x e cos x.

Passo 2

Vamos escrever as expansões de Taylor até a ordem necessária:
sin x = x - x^36 + O(x^5),
cos x = 1 - x^22 + O(x^4)
Isso nos permite aproximar produtos e somas para pequenos x.

Passo 3

Calculamos primeiro o termo sin x(1-cos x). Substituindo as expansões:
sin x(1-cos x) = l(x - x^36 + O(x^5)r)l(x^22 + O(x^4)r) = x^32 + O(x^5)
Então o numerador fica
x^2 + sin x - sin xcos x = x^2 + x^32 + O(x^5)

Passo 4

Agora aproximamos o denominador:
x sin x = xl(x - x^36 + O(x^5)r) = x^2 - x^46 + O(x^6)

Passo 5

Formamos o quociente das séries:
x^2 + x^32 + O(x^5)x^2 - x^46 + O(x^6) = x^2l(1 + x2 + O(x^3)r)x^2l(1 - x^26 + O(x^4)r) = l(1 + x2 + O(x^3)r)l(1 + x^26 + O(x^4)r) = 1 + x2 + O(x^2)
À medida que xto0, esse quociente tende a 1.

Resposta

1

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