Calcule os limites: lim x 2 x^2x-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite aqui: lim x 2 x^2x-2. Esse exercício está na matéria de Cálculo, especificamente sobre limites. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como os valores de uma função se comportam perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de x por 2 na função x^2x-2. Se fizermos isso, teremos:
2^22-2 = 40
Mas dividir por zero não é permitido na matemática, isso significa que o limite não existe de forma direta.

Passo 3

Quando a gente tem uma divisão por um número que está se aproximando de zero, precisamos olhar de que lado x está se aproximando de 2. Vamos analisar os limites laterais: quando x se aproxima de 2 pela direita (valores maiores que 2) e pela esquerda (valores menores que 2).

Passo 4

Primeiro, vamos ver o que acontece quando x se aproxima de 2 pela direita ( x to 2^+):
  • O denominador x-2 vai se aproximando de um número positivo bem pequeno.
  • O numerador x^2 vai se aproximando de 4.
    Então, x^2x-2 será uma divisão de um número positivo por um número positivo bem pequeno, o que dá um valor muito grande positivo. Logo, o limite tende a +infty.

Passo 5

Agora, vamos ver o que acontece quando x se aproxima de 2 pela esquerda ( x to 2^-):
  • O denominador x-2 vai se aproximando de um número negativo bem pequeno.
  • O numerador x^2 vai se aproximando de 4.
    Assim, x^2x-2 será uma divisão de um número positivo por um número negativo bem pequeno, resultando em um valor muito grande negativo. Portanto, o limite tende a -infty.

Passo 6

Como os limites laterais são diferentes ( +infty pela direita e -infty pela esquerda), concluímos que o limite geral não existe no sentido real.

Resposta

O limite lim x 2 x^2x-2 não existe, pois tende a +infty pela direita e a -infty pela esquerda.

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