Calcule os limites: lim x 1 f(x)-f(1)x-1 para
f(x)= x^2, se & x <= 1 2 x-1, & se x>1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite L=limxto1f(x)-f(1)x-1 para a função por partes
f(x)=x^2,&x<=1,2x-1,&x>1
Esse limite é justamente a derivada de f em x=1. Vamos precisar encontrar f(1) e depois os limites laterais.

Passo 2

Primeiro, avaliamos f(1). Como 1<=1, usamos o ramo x^2, logo
f(1)=1^2=1

Passo 3

Agora calculamos o limite pela esquerda ( xto1^-). Para x<1, f(x)=x^2, então
f(x)-f(1)x-1=x^2-1x-1
Fatorando x^2-1=(x-1)(x+1), obtemos
x^2-1x-1=x+1,
e portanto
limxto1^-f(x)-f(1)x-1=1+1=2

Passo 4

Em seguida, o limite pela direita ( xto1^+). Para x>1, f(x)=2x-1, então
f(x)-f(1)x-1=(2x-1)-1x-1=2x-2x-1=2
Logo
limxto1^+f(x)-f(1)x-1=2

Passo 5

Como os limites laterais são iguais (ambos valem 2), concluímos que
L=limxto1f(x)-f(1)x-1=2

Resposta

2

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