Faça uso da regra da cadeia para calcular partial wpartial s, em r=2 e s=4, considerando que w=(x+y+z)^3; x=cos (r-s), y=r+s e z=sen(r-s).
Obs: l. Eventualmente seja necessário utilizar calculadora científica, use a do computador ou mesmo a do geogebra;
2. Não esquecer de configurar os ângulos da calculadora para radianos, senão o resultado sairá errado;
3. Arredonde a solução para apenas uma casa decimal (exemplo: se a conta for 2,537 , basta responder 2,5).
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada parcial de $ w $ em relação a $ s $ usando a regra da cadeia. A função que temos é $ w = (x + y + z)^3 $, onde:
  • $ x = \cos(r - s) $
  • $ y = r + s $
  • $ z = \sin(r - s) $
Precisamos calcular $ \frac{\partial w}{\partial s} $ quando $ r = 2 $ e $ s = 4 $. Vamos precisar usar a regra da cadeia e algumas derivadas básicas das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar $ w $ em relação a $ s $. A regra da cadeia nos diz que:
w
Como $ w = (x + y + z)^3 $, a derivada de $ w $ em relação a $ (x + y + z) $ é:
s

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ s $:
  1. Para $ x = \cos(r - s) $:
x
  1. Para $ y = r + s $:
y
  1. Para $ z = \sin(r - s) $:
z

Passo 4

Agora, vamos somar essas derivadas parciais:
partial xpartial s + partial ypartial s + partial zpartial s = sin(r - s) + 1 - cos(r - s)

Passo 5

Substituindo tudo de volta na fórmula da regra da cadeia:
partial wpartial s = 3(x + y + z)^2 cdot ( sin(r - s) + 1 - cos(r - s) )

Passo 6

Agora, vamos substituir $ r = 2 $ e $ s = 4 $ nas equações de $ x $, $ y $ e $ z $:
  1. Para $ x $:
r = 2
  1. Para $ y $:
s = 4
  1. Para $ z $:
x

Passo 7

Calculando $ x + y + z $:
x + y + z
Vamos calcular o valor numérico usando uma calculadora:
x + y + z = cos(2) + 6 - sin(2)
Então:
cos(2) approx -0,4161, sin(2) approx 0,9093

Passo 8

Agora, calculamos $ (x + y + z)^2 $:
(x + y + z)^2

Passo 9

Em seguida, calculamos $ \sin(r - s) + 1 - \cos(r - s) $:
sin(r - s) + 1 - cos(r - s)

Passo 10

Finalmente, substituímos tudo na fórmula da derivada:
partial wpartial s = 3 times 21,83 times 0,5068 approx 33,2

Resposta

boxed33,2

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