Determine a série de Taylor da função
em torno de
:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = \cos(x^{2}) $ em torno de $ x_{0} = 0 $. Isso está dentro do estudo de séries de Taylor, uma ferramenta matemática super útil para aproximar funções por polinômios. Para resolver, vamos precisar conhecer a série de Taylor da função cosseno e como substituir a variável para adaptar à nossa função $ f(x) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor da função cosseno em torno de 0. A série de Taylor para $ \cos(z) $ é dada por:
Essa série expande o cosseno em uma soma infinita de termos envolvendo potências pares de $ z $.
Passo 3
Agora, na nossa função $ f(x) = \cos(x^{2}) $, a gente pode pensar em $ x^{2} $ como sendo o $ z $ da série do cosseno. Ou seja, substituímos $ z $ por $ x^{2} $ na série que acabamos de ver. Assim, ficaria:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Quando a gente tem $ (x{2}){2n} $, isso é igual a $ x^{4n} $ porque multiplicamos os expoentes:
Então, nossa série fica:
Passo 5
Pronto! A série de Taylor da função $ f(x) = \cos(x^{2}) $ em torno de $ x_{0} = 0 $ está completamente definida. Essa série nos permite aproximar $ \cos(x^{2}) $ por um polinômio de qualquer grau, dependendo de quantos termos a gente considerar.
Resposta
A série de Taylor da função $ f(x) = \cos(x^{2}) $ em torno de $ x_{0} = 0 $ é: