Calcule os limites
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando $ x $ tende a menos infinito da expressão:
Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites no infinito e manipulação algébrica de expressões com raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, observe que quando $ x $ tende a menos infinito, $ x^2 $ se torna muito grande, e termos como $ -4x $ e $ +2x $ são relativamente pequenos em comparação. Então, podemos tentar simplificar as raízes quadradas fatorando $ x^2 $ de cada uma.
Vamos reescrever as expressões dentro das raízes:
Passo 3
Como $ x $ está tendendo a menos infinito, $ x $ é negativo, então $ |x| = -x $. Substituindo isso nas expressões, temos:
Passo 4
Agora, vamos expandir as raízes utilizando a aproximação para $ \sqrt{1 + \frac{a}{x}} $ quando $ x $ tende ao infinito:
Aplicando isso às nossas expressões:
Passo 5
Substituindo essas aproximações de volta nas raízes:
Passo 6
Agora, vamos substituir essas aproximações na expressão original do limite:
Resposta
O limite é $ 3 $.