Calcule os limites
lim x -infty(raizx^2-4 x-raizx^2+2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando $ x $ tende a menos infinito da expressão:
x
Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites no infinito e manipulação algébrica de expressões com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, observe que quando $ x $ tende a menos infinito, $ x^2 $ se torna muito grande, e termos como $ -4x $ e $ +2x $ são relativamente pequenos em comparação. Então, podemos tentar simplificar as raízes quadradas fatorando $ x^2 $ de cada uma.
Vamos reescrever as expressões dentro das raízes:
x
x^2

Passo 3

Como $ x $ está tendendo a menos infinito, $ x $ é negativo, então $ |x| = -x $. Substituindo isso nas expressões, temos:
x
x

Passo 4

Agora, vamos expandir as raízes utilizando a aproximação para $ \sqrt{1 + \frac{a}{x}} $ quando $ x $ tende ao infinito:
raiz1 + ax
Aplicando isso às nossas expressões:
x
raiz1 + ax approx 1 + a2x

Passo 5

Substituindo essas aproximações de volta nas raízes:
raizx^2-4x approx -x(1 - 2x) = -x + 2
raizx^2+2x approx -x(1 + 1x) = -x -1

Passo 6

Agora, vamos substituir essas aproximações na expressão original do limite:
raizx^2-4x - raizx^2+2x approx (-x + 2) - (-x -1) = -x + 2 + x +1 = 3

Resposta

O limite é $ 3 $.

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