Utilize o método da substituição para calcular as integrais indefinidas abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral indefinida de $ t^{3} e{-t{4}} , dt $ usando o método da substituição.
Aqui, estamos lidando com integração, mais especificamente com o método da substituição, que é super útil quando temos uma função composta. Vamos precisar identificar uma parte da função que, quando substituída por uma nova variável, simplifica a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que pode ser substituída. Observando $ t^{3} e{-t{4}} $, vemos que o expoente de $ e $ é $ -t^{4} $. Vamos tentar usar isso para nossa substituição.
Vamos deixar:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ t $ para substituir o $ dt $. Então:
Isso significa que:
Passo 4
Queremos expressar $ t^{3} dt $ em termos de $ du $. Podemos rearranjar a equação acima:
Passo 5
Agora, substituímos $ u $ e $ t^{3} dt $ na integral original:
Isso simplifica para:
Passo 6
A integral de $ e^{u} $ em relação a $ u $ é simplesmente $ e^{u} $. Então:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, voltamos à variável original substituindo $ u = -t^{4} $:
Resposta
A integral indefinida é: