Utilize o método da substituição para calcular as integrais indefinidas abaixo.
integral t^3 e^-t^4 d t

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral indefinida de $ t^{3} e{-t{4}} , dt $ usando o método da substituição.
Aqui, estamos lidando com integração, mais especificamente com o método da substituição, que é super útil quando temos uma função composta. Vamos precisar identificar uma parte da função que, quando substituída por uma nova variável, simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que pode ser substituída. Observando $ t^{3} e{-t{4}} $, vemos que o expoente de $ e $ é $ -t^{4} $. Vamos tentar usar isso para nossa substituição.
Vamos deixar:
t^3 e^-t^4

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ t $ para substituir o $ dt $. Então:
u
Isso significa que:
t

Passo 4

Queremos expressar $ t^{3} dt $ em termos de $ du $. Podemos rearranjar a equação acima:
t^3 dt

Passo 5

Agora, substituímos $ u $ e $ t^{3} dt $ na integral original:
u
Isso simplifica para:
t^3 dt

Passo 6

A integral de $ e^{u} $ em relação a $ u $ é simplesmente $ e^{u} $. Então:
e^u
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original substituindo $ u = -t^{4} $:
u = -t^4

Resposta

A integral indefinida é:
-14 e^-t^4 + C

Exercícios relacionados