Calcular as integrais :
integral e^3 x raiz1-e^6 x d x

Passo 1

A gente tem a integral integral e^3xraiz1 - e^6x,dx. O conteúdo aqui é integração por substituição: vamos identificar uma nova variável que torne a raiz mais simples e reduza a integral a algo padrão.

Passo 2

Vamos usar a substituição t = e^3x. Como dt/dx = 3e^3x, temos dt = 3e^3x,dx e portanto e^3x,dx = dt/3. Essa troca vai eliminar o e^3x e deixar só raiz1-t^2.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral e^3xraiz1 - e^6x,dx = integral raiz1 - t^2;dt3 = 13integral raiz1 - t^2,dt

Passo 4

Agora precisamos da integral conhecida de raiz1 - t^2. Pelo método de integração por partes (ou tabela de integrais), temos:
integral raiz1 - t^2,dt = t2raiz1 - t^2 + 12arcsin(t) + C

Passo 5

Voltando ao nosso fator 1/3, a integral vira:
13(t2raiz1 - t^2 + 12arcsin(t)) + C = t6raiz1 - t^2 + 16arcsin(t) + C

Passo 6

Por fim, substituímos de volta t = e^3x. Isso nos dá a resposta em função de x.

Resposta

integral e^3xraiz1 - e^6x,dx = e^3x6raiz1 - e^6x + 16arcsinl(e^3xr) + C

Exercícios relacionados