Se
são ambas pares, verifique que
e
são funções pares. Mostre também que, se
e
são ambas ímpares, então
e
são ímpares. O que se pode dizer das composições
e
se
for par e
for ímpar?
Passo 1
Temos duas funções f,g: ℝ→ℝ e queremos estudar a paridade das composições f∘g e g∘f. O conteúdo aqui é o conceito de função par (f(−x)=f(x)) e ímpar (f(−x)=−f(x)) e a propriedade de composição de funções. Para resolver, basta aplicar a definição de paridade em cada caso, usando que (f∘g)(x)=f(g(x)) e (g∘f)(x)=g(f(x)).
Passo 2
Suponha f e g pares, ou seja, para todo x em ℝ vale f(−x)=f(x) e g(−x)=g(x). Então
[(f∘g)(−x)=f(g(−x))=f(g(x))=(f∘g)(x)]
[(g∘f)(−x)=g(f(−x))=g(f(x))=(g∘f)(x)]
Logo, ambas composições são pares.
[(f∘g)(−x)=f(g(−x))=f(g(x))=(f∘g)(x)]
[(g∘f)(−x)=g(f(−x))=g(f(x))=(g∘f)(x)]
Logo, ambas composições são pares.
Passo 3
Agora suponha f e g ímpares, ou seja, f(−x)=−f(x) e g(−x)=−g(x). Então
[(f∘g)(−x)=f(g(−x))=f(−g(x))=−f(g(x))=−(f∘g)(x)]
[(g∘f)(−x)=g(f(−x))=g(−f(x))=−g(f(x))=−(g∘f)(x)]
Daí as duas composições são ímpares.
[(f∘g)(−x)=f(g(−x))=f(−g(x))=−f(g(x))=−(f∘g)(x)]
[(g∘f)(−x)=g(f(−x))=g(−f(x))=−g(f(x))=−(g∘f)(x)]
Daí as duas composições são ímpares.
Passo 4
Por fim, se f é par (f(−x)=f(x)) e g é ímpar (g(−x)=−g(x)), então
[(f∘g)(−x)=f(g(−x))=f(−g(x))=f(g(x))=(f∘g)(x)]
[(g∘f)(−x)=g(f(−x))=g(f(x))=(g∘f)(x)]
Logo, neste caso também ambas composições são pares.
[(f∘g)(−x)=f(g(−x))=f(−g(x))=f(g(x))=(f∘g)(x)]
[(g∘f)(−x)=g(f(−x))=g(f(x))=(g∘f)(x)]
Logo, neste caso também ambas composições são pares.
Resposta
Se f e g são pares, f∘g e g∘f são pares. Se f e g são ímpares, f∘g e g∘f são ímpares. Se f for par e g ímpar, então f∘g e g∘f são pares.