Se f, g: R R são ambas pares, verifique que f circ g e g circ f são funções pares. Mostre também que, se f e g são ambas ímpares, então f circ g e g circ f são ímpares. O que se pode dizer das composições f circ g e g circ f se f for par e g for ímpar?

Passo 1

Temos duas funções f,g: ℝ→ℝ e queremos estudar a paridade das composições f∘g e g∘f. O conteúdo aqui é o conceito de função par (f(−x)=f(x)) e ímpar (f(−x)=−f(x)) e a propriedade de composição de funções. Para resolver, basta aplicar a definição de paridade em cada caso, usando que (f∘g)(x)=f(g(x)) e (g∘f)(x)=g(f(x)).

Passo 2

Suponha f e g pares, ou seja, para todo x em ℝ vale f(−x)=f(x) e g(−x)=g(x). Então
[(f∘g)(−x)=f(g(−x))=f(g(x))=(f∘g)(x)]
[(g∘f)(−x)=g(f(−x))=g(f(x))=(g∘f)(x)]
Logo, ambas composições são pares.

Passo 3

Agora suponha f e g ímpares, ou seja, f(−x)=−f(x) e g(−x)=−g(x). Então
[(f∘g)(−x)=f(g(−x))=f(−g(x))=−f(g(x))=−(f∘g)(x)]
[(g∘f)(−x)=g(f(−x))=g(−f(x))=−g(f(x))=−(g∘f)(x)]
Daí as duas composições são ímpares.

Passo 4

Por fim, se f é par (f(−x)=f(x)) e g é ímpar (g(−x)=−g(x)), então
[(f∘g)(−x)=f(g(−x))=f(−g(x))=f(g(x))=(f∘g)(x)]
[(g∘f)(−x)=g(f(−x))=g(f(x))=(g∘f)(x)]
Logo, neste caso também ambas composições são pares.

Resposta

Se f e g são pares, f∘g e g∘f são pares. Se f e g são ímpares, f∘g e g∘f são ímpares. Se f for par e g ímpar, então f∘g e g∘f são pares.

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