Calcule os limites
lim x -infty(raizx^2-2 x-raizx^2+3 x)

Passo 1

Resumo do enunciado: O exercício pede para calcular o limite limxto -infty(raizx^2-2x-raizx^2+3x). O conteúdo principal é análise de limites de funções com raízes quadradas e vamos precisar usar a técnica de racionalização e a propriedade raizx^2=|x| para xto -infty.

Passo 2

Racionalização: multiplicamos a expressão por raizx^2-2x+raizx^2+3x no numerador e denominador. Assim, obtemos
raizx^2-2x-raizx^2+3x1 cdot raizx^2-2x+raizx^2+3xraizx^2-2x+raizx^2+3x = x^2-2x - (x^2+3x)raizx^2-2x+raizx^2+3x = -5xraizx^2-2x+raizx^2+3x

Passo 3

Aproximação para xto -infty: note que raizx^2 pm ax=|x|raiz1pm a/x. Como xto -infty, temos |x|=-x. Então o denominador vira
raizx^2-2x+raizx^2+3x = -xl(raiz1-2/x+raiz1+3/xr)
Substituindo, a expressão fica
-5x-xl(raiz1-2/x+raiz1+3/xr) = 5raiz1-2/x+raiz1+3/x

Passo 4

Ao fazer xto -infty dentro das raízes, 2/xto 0 e 3/xto 0, logo raiz1-2/x+raiz1+3/xto 1+1=2. Portanto, o limite é 5/2.

Resposta

5/2

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