5 ^ a Questão:
(0,9). Encontre três conjuntos de níveis para a função f(x, y)=x^2 yx^4+y^2;

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos três conjuntos de nível da função f(x,y)=x^2yx^4+y^2. Esse é um exercício sobre curvas de nível de funções de duas variáveis; vamos precisar usar a definição de conjunto de nível e resolver a equação f(x,y)=c para diferentes constantes c.

Passo 2

Um conjunto de nível para cin R é definido por
Impondo
(x,y)in R^2:,f(x,y)=c
passamos a resolver a equação
f(x,y)=x^2yx^4+y^2=c,
que equivale a
x^2yx^4+y^2=c

Passo 3

Para c=0, a equação x^2y=0 dá as retas y=0 ou x=0, excluindo o ponto (0,0) onde f não está definida. Assim o conjunto de nível é a união dos eixos coordenados menos a origem.

Passo 4

Para c=tfrac12, o discriminante De, e a única solução é
y=x^22c=x^2
Logo o conjunto de nível é a parábola y=x^2, xneq0 (novamente excluindo a origem).

Passo 5

Para c=tfrac14, o discriminante é De0, e obtemos
y=x^2pm x^2raiz1-4c^22c = x^2(2pmraiz3)
Então o conjunto de nível é a união das parábolas y=(2+raiz3)x^2 e y=(2-raiz3)x^2, com xneq0.

Resposta

Os três conjuntos de nível escolhidos são:
  1. Para c=0: (x,0):xneq0cup(0,y):yneq0.
  2. Para c=tfrac12: (x,y):y=x^2,,xneq0.
  3. Para c=tfrac14: (x,y):y=(2+raiz3)x^2,,xneq0cup(x,y):y=(2-raiz3)x^2,,xneq0.

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