Calcule os limites.
lim x -infty raizx+3 x^24 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x -infty raizx + 3x^24x + 1. Aqui estamos trabalhando com limites envolvendo funções que crescem sem jeito quando x vai para menos infinito. Para resolver isso, a gente precisa simplificar a expressão e entender como cada parte se comporta quando x fica bem grande (positiva ou negativamente).

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte dentro da raiz quadrada: x + 3x^2. Podemos reorganizar isso pra facilitar:
x + 3x^2 = 3x^2 + x
Perceba que 3x^2 é o termo que mais cresce quando x vai para infinito ou menos infinito, então ele domina a expressão. Mas vamos deixar isso mais claro fatorando:
3x^2 + x = x^2(3 + 1x)

Passo 3

Agora, vamos substituir de volta na expressão original:
raizx + 3x^24x + 1 = raizx^2(3 + 1x)4x + 1
A raiz quadrada de um produto é o produto das raízes, então podemos separar:
raizx^2(3 + 1x) = raizx^2 cdot raiz3 + 1x = |x| cdot raiz3 + 1x

Passo 4

Como x está tendendo a menos infinito ( x -infty), o valor absoluto de x é -x (já que x é negativo):
|x| = -x
Então, substituindo de volta:
-x cdot raiz3 + 1x4x + 1

Passo 5

Para simplificar ainda mais, vamos dividir o numerador e o denominador por x:
-x cdot raiz3 + 1x4x + 1 = -raiz3 + 1x4 + 1x
Agora, quando x tende a menos infinito, 1x tende a zero. Então a expressão simplifica para:
-raiz3 + 04 + 0 = -raiz34

Resposta

O limite é:
lim x -infty raizx + 3x^24x + 1 = -raiz34

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