Determine a região de convergência das seguintes séries de potências:
sumn=1^infty (x-3)^nln (n)

Passo 1

Temos a série de potências sumn=1^infty (x-3)^nln(n). O conteúdo da matéria é convergência de séries de potências e vamos precisar do teste da raiz para achar o raio de convergência, depois testar os pontos finais.

Passo 2

Para aplicar o teste da raiz, calculamos
limsupntoinfty l|anr|^1/n, an=(x-3)^nln(n)
Note que
|an|^1/n = |x-3|, (ln n)^-1/n,
e como
limntoinfty(ln n)^1/n = 1,
temos
limsupntoinfty|an|^1/n = |x-3|
Pelo teste da raiz a série converge se |x-3|<1, logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Agora testamos os extremos do intervalo |x-3|<=1:
Para x=4 ( x-3=1) a série vira sum 1/ln(n), cujos termos não tendem a zero, então diverge.
Para x=2 ( x-3=-1) a série fica sum (-1)^n/ln(n). Essa é alternante, com 1/ln(n) decrescente a zero, então converge pelo critério de Leibniz.

Resposta

A região de convergência é [2,4), isto é, converge para |x-3|<1 e também em x=2, mas diverge em x=4.

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