Determine a região de convergência das seguintes séries de potências:
Passo 1
Temos a série de potências . O conteúdo aqui é encontrar o raio de convergência via teste da raiz (ou razão) e depois checar o comportamento nos pontos de fronteira e .
Passo 2
O teste da raiz para séries de potências diz que o raio de convergência satisfaz
onde é o coeficiente. Calculamos
logo
Passo 3
Logo, para a série converge absolutamente, pois .
Passo 4
Em x=1 a série vira
sumn=1^infty 1n+1,
que é equivalente à soma harmônica (soma de 1/n) menos o primeiro termo. Sabemos que essa série diverge.
Passo 5
Em x=-1 a série é
sumn=1^infty (-1)^nn+1
Como os termos bn = 1/(n+1) são positivos, decrescentes e bnto0, pelo critério de Leibniz a série alternante converge, embora não absolutamente.
Passo 6
Portanto, a região de convergência é o intervalo aberto |x|<1, com convergência condicional em x=-1 e divergência em x=1.
Resposta
A série converge para |x|<1, converge condicionalmente em x=–1 e diverge em x=1, ou seja, o intervalo de convergência é |x|<1 com extensão em x=–1.