Determine a região de convergência das seguintes séries de potências:
sumn=1^infty x^nn+1

Passo 1

Temos a série de potências sumn=1^infty x^nn+1. O conteúdo aqui é encontrar o raio de convergência via teste da raiz (ou razão) e depois checar o comportamento nos pontos de fronteira x=1 e x=-1.

Passo 2

O teste da raiz para séries de potências diz que o raio de convergência R satisfaz
R = 1limsupntoinfty raiz[n]|an|,
onde an = 1n+1 é o coeficiente. Calculamos
limntoinfty raiz[n]1n+1 = 1,
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R = 11 = 1

Passo 3

Logo, para |x|<1 a série converge absolutamente, pois raiz[n]l|an x^nr| = |x|cdotraiz[n]tfrac1n+1to |x|<1.

Passo 4

Em x=1 a série vira
sumn=1^infty 1n+1,
que é equivalente à soma harmônica (soma de 1/n) menos o primeiro termo. Sabemos que essa série diverge.

Passo 5

Em x=-1 a série é
sumn=1^infty (-1)^nn+1
Como os termos bn = 1/(n+1) são positivos, decrescentes e bnto0, pelo critério de Leibniz a série alternante converge, embora não absolutamente.

Passo 6

Portanto, a região de convergência é o intervalo aberto |x|<1, com convergência condicional em x=-1 e divergência em x=1.

Resposta

A série converge para |x|<1, converge condicionalmente em x=–1 e diverge em x=1, ou seja, o intervalo de convergência é |x|<1 com extensão em x=–1.

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